4.5 减号逆

若 $A=A_{m\times n}$ 与 $X=X_{n\times m}$ ，有 $AXA=A$ ，则称 $X=X_{n\times m}$ 为A的减号逆(一号逆)，记为 $X=A^{-}=A^{(1)}$

全体 $A^{-}$ 的集合记为 A { 1 } = { X ∣ A X A = A } A^{\{1\}}=\{X\mid AXA=A\} A{1}={X∣AXA=A}

• A − ∈ A { 1 } A^{-}\in A^{\{1\}} A−∈A{1}

4.5.1 性质

自反性：$A{A}^{-}A=A$

幂等性：$(A^{-}A{)}^2=A^{-}A$ ，且 $(A{A}^{-}{)}^2=A{A}^{-}$ ，其中A是方阵

$A^{-}$ 不唯一，可以看做 $A^{-1}$ 的推广

• 如 $A=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$ ，可取 X=(1 0) 或 Y=(1 1) 作为A的减号逆
• $A^{-}$ 唯一的阵：方阵$A_{n\times n}$可逆，则必有唯一 $A^{-1}=A^{+}=A^{-}$

若A为列满秩（高阵），则 $A^{-}A=I$；若A为行满秩（低阵），则 $A{A}^{-}=I$

4.5.2 计算

a. 求解$AXA=A$

求解减号逆 $A-$ 即求解 $AXA=A$ 的全体通解

在这里插入图片描述

$$\begin{array}{rl}& 由矩阵方程AXB=D的特解X_0=A^{+}=\left(1,0,0\right),故通解为A^{-}=X=X_0+Y-A^{+}AYA{A}^{+}\\ & =\left(1，0，0\right)+\left(\begin{array}{c}a，b，c\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}a，0，0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1，b，c\end{array}\right)\end{array}$$

也可见 $A^{-}$ 不唯一

• 对于高阶阵 $A^{-}=A^{+}+(Y-A^{+}AYA{A}^{+})$ 的计算比较复杂

b. 标准对角形

若 $A={\left(\begin{array}{cc}{I}_r& 0\\ 0& 0\end{array}\right)}_{m\times n}$ ，则全体 $A^{-}={\left(\begin{array}{cc}{I}_r& B\\ C& D\end{array}\right)}_{n\times m}$ ，BCD为任一小块

---

SP

若 $PAQ={\left(\begin{array}{cc}{I}_r& 0\\ 0& 0\end{array}\right)}_{m\times n}$ ，全体 $A^{-}=Q{\left(\begin{array}{cc}{I}_r& 0\\ 0& 0\end{array}\right)}_{n\times m}P$ ，BCD为任一小块

c. 初等行，列变换（一般方法）

设 $A=A_{m\times n}$ ，令 $\left(\begin{array}{cc}A& I_m\\ I_n& 0\end{array}\right)\underset{列变换}{\overset{行变换}{\to }}\left(\begin{array}{cc}{\left(\begin{array}{cc}{I}_r& 0\\ 0& 0\end{array}\right)}_{m\times n}& P\\ Q& 0\end{array}\right)$ ，则有 $A^{-}=Q{\left(\begin{array}{cc}{I}_r& B\\ C& D\end{array}\right)}_{n\times m}P$

eg

4.5.3 矩阵方程求解

前置知识：正规方程求解

a. 特解

b. 解空间

$N(A)$ 或 $AY=0$ 的通解为 $Y=(I_n-A^{-}A)y$ ，$\forall y\in C^n$

N ( A ) = { Y ∣ A Y = 0 } N(A)=\{Y\vert AY=0\} N(A)={Y∣AY=0} ，$X=(I_n-A^{-}A)y,y=\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right)\in C^n$

设y的值域为 R，则 $N(A)=R(I_n-A^{-}A)$ ，维数 $dimN(A)=n-r(A^{-}A)$

c. 通解