动态规划理论基础

代码随想录 (programmercarl.com)

如果某一问题有很多重叠子问题，使用动态规划是最有效的。

所以动态规划中每一个状态一定是由上一个状态推导出来的，这一点就区分于贪心，贪心没有状态推导，而是从局部直接选最优的。

大家知道动规是由前一个状态推导出来的，而贪心是局部直接选最优的，对于刷题来说就够用了。

动态规划的解题步骤

思路过程：第一步怎么得到、第二步怎么得到、第三步怎么得到…

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
2. 确定递推公式
3. dp数组如何初始化
4. 确定遍历顺序
5. 举例推导dp数组

一些同学可能想为什么要先确定递推公式，然后在考虑初始化呢？因为一些情况是递推公式决定了dp数组要如何初始化！

动态规划应该如何debug

找问题的最好方式就是把dp数组打印出来，看看究竟是不是按照自己思路推导的！

做动规的题目，写代码之前一定要把状态转移在dp数组的上具体情况模拟一遍，心中有数，确定最后推出的是想要的结果。

然后再写代码，如果代码没通过就打印dp数组，看看是不是和自己预先推导的哪里不一样。

如果打印出来和自己预先模拟推导是一样的，那么就是自己的递归公式、初始化或者遍历顺序有问题了。

如果和自己预先模拟推导的不一样，那么就是代码实现细节有问题。

这样才是一个完整的思考过程，而不是一旦代码出问题，就毫无头绪的东改改西改改，最后过不了，或者说是稀里糊涂的过了。

509. 斐波那契数

文档讲解：代码随想录 (programmercarl.com)

视频讲解：手把手带你入门动态规划 | 对应力扣（leetcode）题号：509.斐波那契数_哔哩哔哩_bilibili

状态：想到递归，没注意到for循环，要根据动态规划的步骤来写。

思路

动规五部曲：

这里我们要用一个一维dp数组来保存递归的结果

1. 确定dp数组以及下标的含义

   dp[i]的定义为：第i个数的斐波那契数值是dp[i]

2. 确定递推公式

   题目已经把递推公式直接给我们了：状态转移方程 dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];

3. dp数组如何初始化

   题目中把如何初始化也直接给我们了，

   dp[0] = 0;
   dp[1] = 1;
   

4. 确定遍历顺序

   从递归公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];中可以看出，dp[i]是依赖 dp[i - 1] 和 dp[i - 2]，那么遍历的顺序一定是从前到后遍历的

5. 举例推导dp数组

   按照这个递推公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]，我们来推导一下，当N为10的时候，dp数组应该是如下的数列：

   0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

   如果代码写出来，发现结果不对，就把dp数组打印出来看看和我们推导的数列是不是一致的。

代码

class Solution {
public:
    int fib(int N) {
        if (N <= 1) return N;
        vector<int> dp(N + 1);
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= N; i++) {
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
        }
        return dp[N];
    }
};

• 时间复杂度：O(n)
• 空间复杂度：O(n)

可以发现，我们只需要维护两个数值就可以了，不需要记录整个序列

class Solution {
public:
    int fib(int N) {
        if (N <= 1) return N;
        int dp[2];
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= N; i++) {
            int sum = dp[0] + dp[1];
            dp[0] = dp[1];
            dp[1] = sum;
        }
        return dp[1];
    }
};

• 时间复杂度：O(n)
• 空间复杂度：O(1)

70. 爬楼梯

文档讲解：代码随想录 (programmercarl.com)

视频讲解：带你学透动态规划-爬楼梯（对应力扣70.爬楼梯）| 动态规划经典入门题目_哔哩哔哩_bilibili

状态：没想出来。

思路

思路过程：第一步怎么得到、第二步怎么得到、第三步怎么得到…

爬到第一层楼梯有一种方法，爬到二层楼梯有两种方法。

那么第一层楼梯再跨两步就到第三层 ，第二层楼梯再跨一步就到第三层。所以到第三层楼梯的状态可以由第二层楼梯 和 第一层楼梯状态推导出来，那么就可以想到动态规划了。

动规五部曲：

定义一个一维数组来记录不同楼层的状态

1. 确定dp数组以及下标的含义

   dp[i]： 爬到第i层楼梯，有dp[i]种方法

2. 确定递推公式

   从dp[i]的定义可以看出，dp[i] 可以有两个方向推出来。

   首先是dp[i - 1]，到i-1层楼梯，有dp[i - 1]种方法，那么再一步跳一个台阶不就是dp[i]了么。

   还有就是dp[i - 2]，到i-2层楼梯，有dp[i - 2]种方法，那么再一步跳两个台阶不就是dp[i]了么。

   那么dp[i]就是 dp[i - 1]与dp[i - 2]之和！所以dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] 。

   在推导dp[i]的时候，一定要时刻想着dp[i]的定义，否则容易跑偏。

3. dp数组如何初始化

   不考虑dp[0]如何初始化，只初始化dp[1] = 1，dp[2] = 2，然后从i = 3开始递推，这样才符合dp[i]的定义。

4. 确定遍历顺序

   从递推公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];中可以看出，遍历顺序一定是从前向后遍历的

5. 举例推导dp数组

代码

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        if (n <= 1) return n; // 因为下面直接对dp[2]操作了，防止空指针
        vector<int> dp(n + 1);
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;
        for (int i = 3; i <= n; i++) { // 注意i是从3开始的
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
        }
        return dp[n];
    }
};

• 时间复杂度：O(n)
• 空间复杂度：O(n)

可以，优化一下空间复杂度，代码如下：

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        if (n <= 1) return n;
        int dp[3];
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;
        for (int i = 3; i <= n; i++) {
            int sum = dp[1] + dp[2];
            dp[1] = dp[2];
            dp[2] = sum;
        }
        return dp[2];
    }
};

• 时间复杂度：O(n)
• 空间复杂度：O(1)

746. 使用最小花费爬楼梯

文档讲解：代码随想录 (programmercarl.com)

视频讲解：动态规划开更了！| LeetCode：746. 使用最小花费爬楼梯_哔哩哔哩_bilibili

状态：能直接做出来。

思路

1. 确定dp数组以及下标的含义

   使用动态规划，就要有一个数组来记录状态，本题只需要一个一维数组dp[i]就可以了。

   dp[i]的定义：到达第i台阶所花费的最少体力为dp[i]。

2. 确定递推公式

   可以有两个途径得到dp[i]，一个是dp[i-1] 一个是dp[i-2]。

   dp[i - 1] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 1] + cost[i - 1]。

   dp[i - 2] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 2] + cost[i - 2]。

   那么究竟是选从dp[i - 1]跳还是从dp[i - 2]跳呢？

   一定是选最小的，所以dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);

3. dp数组如何初始化

   只初始化dp[0]和dp[1]就够了，其他的最终都是dp[0]dp[1]推出。

   新题目描述中明确说了 “你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。” 也就是说 从 到达 第 0 个台阶是不花费的，但从 第0 个台阶 往上跳的话，需要花费 cost[0]。所以初始化 dp[0] = 0，dp[1] = 0;

4. 确定遍历顺序

   因为是模拟台阶，而且dp[i]由dp[i-1]dp[i-2]推出，所以是从前到后遍历cost数组就可以了。

5. 举例推导dp数组

   拿示例2：cost = [1, 100, 1, 1, 1, 100, 1, 1, 100, 1] ，来模拟一下dp数组的状态变化，如下：

   

代码

class Solution {
public:
    int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) {
        vector<int> dp(cost.size() + 1);
        dp[0] = 0; // 默认第一步都是不花费体力的
        dp[1] = 0;
        for (int i = 2; i <= cost.size(); i++) {
            dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);
        }
        return dp[cost.size()];
    }
};

• 时间复杂度：O(n)
• 空间复杂度：O(n)

还可以优化空间复杂度，因为dp[i]就是由前两位推出来的，那么也不用dp数组了，C++代码如下：

class Solution {
public:
    int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) {
        int dp0 = 0;
        int dp1 = 0;
        for (int i = 2; i <= cost.size(); i++) {
            int dpi = min(dp1 + cost[i - 1], dp0 + cost[i - 2]);
            dp0 = dp1; // 记录一下前两位
            dp1 = dpi;
        }
        return dp1;
    }
};

• 时间复杂度：O(n)
• 空间复杂度：O(1)