【试题四】（共15分）

阅读下列说明和C代码，回答问题1至问题3，将解答写在答题纸的对应栏内。

工程计算中经常要完成多个矩阵相乘的计算任务，对矩阵相乘进行以下说明。

(1)两个矩阵相乘要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，计算量主要由进行乘法运算的次数决定，假设采用标准的矩阵相乘算法，计算Amxn*Bnxp需要m*n*p次乘法运算，即时间复杂度为O(m*n*p)。

(2)矩阵相乘满足结合律，多个矩阵相乘时不同的计算顺序会产生不同的计算量。以矩阵 $A1_{_{5*100}},A2_{_{100*8}},A3_{_{8*50}}$ 三个矩阵相乘为例，若按(A1*A2)*A3计算，则需要进行5*100*8+5*8*50=6000次乘法运算，若按A1*(A2*A3)计算，则需要进行100*8*50+ 5*100*50=65000次乘法运算。

矩阵链乘问题可描述为：给定n个矩阵，矩阵Ai的维数为Pi-1×Pi其中i=1, 2,..., n。确定一种乘法顺序，使得这n个矩阵相乘时进行乘法的运算次数最少。由于可能的计算顺序数量非常庞大，对较大的n，用蛮力法确定计算顺序是不实际的。经过对问题进行分析，发现矩阵链乘问题具有最优子结构，即若A1*A2**An的一个最优计算顺序从第k个矩阵处断开，即分为A1*A2*…*Ak和Ak+1*Ak+2**An两个子问题，则该最优解应该包含A1*A2**Ak的一个最优计算顺序和Ak+1*Ak+2**An的一个最优计算顺序。据此构造递归式：

其中，cost[i][j]表示Ai+1*Ai+2*Aj+1的最优计算的计算代价。最终需要求解cost[0][n-1]。

C代码算法实现，采用自底向上的计算过程。首先计算两个矩阵相乘的计算量，然后依次计算3个矩阵、4个矩阵、…、n个矩阵相乘的最小计算量及最优计算顺序。下面是该算法的语言实现：

(1)主要变量说明

n：矩阵数

seq：矩阵维数序列

cost[][]：二维数组，长度为n*n，其中元素cost[i][j]表示Ai+1*Ai+2*...*Aj+1的最优的计算代价

trace[][]：二维数组，长度为n*n，其中元素costcost

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define N 100

int cost[N][N];//元素cost[i][j]表示Ai+1*Ai+2*...*Aj+1的最优的计算代价
int trace[N][N];//trace[i][j]表示Ai+1*Ai+2*...*Aj+1的最优计算对应的划分位置，即k(2)函数cmm

int cmm1(int n, int seq[]) {
	//seq：矩阵维数序列
	int tempCost;
	int tempTrace;
	int i, j, k, p;
	int temp;
	for (i=0; i < n; i++) { 
  		cost[i][i] =0; 
	}
	for (p= 1; p < n; p++) {
		for (i= 0; i<n-p ; i++) {//填空1 
			j=i+p;	//填空2		
			tempCost=-1;
			for (k= i; k<j ; k++) {
				temp = cost[i][k]+cost[k+1][j]+seq[i]*seq[k+1]*seq[j+1];//填空3
				if (tempCost == -1 || tempCost > temp) {
				  tempCost = temp;
				  tempTrace=k;//填空4
				}
				cost[i][j] = tempCost;
				trace[i][j]=tempTrace;
			}
		}	
	}
	return cost[0][n - 1];
}


int main(){
	//A1为15*5，A2为5*10，A3为10*20，A4为20*25
	int seq[]={15,5,10,20,25};
	int cmm=cmm1(4,seq);
	printf("%d\n",cmm);
	return 0;
}

问题1（8分）

根据以上说明和C代码，填写C代码中的空(1)～(4)。

问题2（4分）

根据以上说明和C代码，该问题采用了（ 5 ）算法设计策略，时间复杂度为（ 6 ）（用O符号表示）。

问题3（3分）

考虑实例n=4，各个矩阵的维数为A1为15*5，A2为5*10，A3为10*20，A4为20*25，即维度序列为15，5，10，20和25。则根据上述C代码得到的一个最优计算顺序为（ 7 ）（用加括号方式表示计算顺序），所需要的乘法运算次数为（ 8 ）。

试题六（共15分）

阅读下列说明和Java代码，将应填入（n）处的字句写在答题纸的对应栏内。

在软件系统中，通常会给用户提供取消、不确定或者错误操作的选择，允许将系统恢复到原先的状态。现使用备忘录（Memento）模式实现该要求，得到如图5-1所示的类图。Memento 包含了要被恢复的状态。Originator创建并在Memento中存储状态。Caretaker负责从Memento中恢复状态。

【JAVA代码】

package test_2022_1;
import java.util.*;

class Memento {
    private String state;
    public Memento (String state) {this.state=state;}
    public String getState() {return state; }

}

class Originator{
    private String state;
    public void setState (String state) {this.state=state; }
    public String getState() { return state; }
    public Memento saveStateToMemento() {
        return new Memento(state);//填空1
    }

    public void getStateFromMemento(Memento Memento){
        state = Memento.getState() ;//填空2
    }

}

class CareTaker {
    public void add(Memento state){
        mementoList.add(state);
    }

    public Memento get(int index){
        return mementoList.get(index);
    }

}

class MementoPatternDemo{

    public static void main (String[] args) {
        Originator originator = new Originator();
        CareTaker careTaker = new CareTaker();
        originator.setState("State #1");
        originator.setState("State #2");
        careTaker.add(originator.saveStateToMemento());//填空5
        originator.setState("State #3");
        careTaker.add(originator.saveStateToMemento());//填空5
        originator.setState("State #4");
    }
}

public class MementoDemo{

}