目录
一：归并排序
(1)归并排序的基本思想
(2)递归版本
①实现思路
②合并
③递归实现有序
④最终代码
(3)非递归版本
①实现思路
②控制分组
③最终代码
(4)时间，空间复杂度分析
(5)小结
二：计数排序
(1)计数排序的基本思想
(2)实现思路
(3)图解加最终代码
(4)时间，空间复杂度分析
(5)小结
一：归并排序
(1)归并排序的基本思想
归并排序是建立在归并操作上的一种有效的排序算法,该算法是采用分治法的一个非常典型的应用。
将已有序的子序列合并，得到完全有序的序列；
即先使每个子序列有序，再使子序列段间有序。若将两个有序数组合并成一个有序数组，称为二路归并。图解：
(2)递归版本
①实现思路
【1】把待排序数组从中间分成两个子数组，直到无法分割（即每个子数组只有一个元素)。
【2】对每个子数组进行归并排序，即递归调用归并排序函数。
【3】合并两个有序子数组，得到一个有序的数组(这里需要辅助数组来实现)，然后把这个有序数组拷贝到原数组中。
【4】重复步骤3，直到所有的子数组合并成一个有序的数组，排序完成。
②合并
合并两个有序数组需要辅助数组tmp，大致思路就是遍历两个区间，拿出两个数组中较小值放在tmp中，合并成有序后再拷贝回原数组。
图解：
这里循环已经结束但我们需要把没结束的一方拷贝到tmp中
//把没结束的一方拷贝到tmp中 while (begin1 <= end1) { tmp[i++] = a[begin1++]; } while (begin2 <= end2) { tmp[i++] = a[begin2++]; }合并的代码：
//这个时候左右已经有序，合并 int begin1 = left; int end1 = mid; int begin2 = mid + 1; int end2 = right; int i = left; while (begin1 <= end1 && begin2 <= end2) { if (a[begin2] < a[begin1]) { tmp[i++] = a[begin2++]; } else { tmp[i++] = a[begin1++]; } } //把没结束的一方拷贝到tmp中 while (begin1 <= end1) { tmp[i++] = a[begin1++]; } while (begin2 <= end2) { tmp[i++] = a[begin2++]; } //拷贝回去 //注意这里合并了的有序区间为[left,right] //别的区间不一定有序，拷贝时要注意 for (int j = left; j <= right; j++) { a[j] = tmp[j]; }
③递归实现有序
图解(以左区间为例)：
④最终代码
void _MergeSort(int* a, int left,int right,int* tmp) { //只有一个元素(可看成有序)或者区域不存在，返回 if (left >= right) { return; } int mid = left + (right - left) / 2; //先递归排序左区间，后递归排序右区间 _MergeSort(a, left, mid, tmp); _MergeSort(a, mid + 1, right, tmp); //这个时候左右已经有序，合并 int begin1 = left; int end1 = mid; int begin2 = mid + 1; int end2 = right; int i = left; while (begin1 <= end1 && begin2 <= end2) { if (a[begin2] < a[begin1]) { tmp[i++] = a[begin2++]; } else { tmp[i++] = a[begin1++]; } } //把没结束的一方拷贝到tmp中 while (begin1 <= end1) { tmp[i++] = a[begin1++]; } while (begin2 <= end2) { tmp[i++] = a[begin2++]; } //拷贝回去 //注意这里合并了的有序区间为[left,right] //别的区间不一定有序，拷贝时要注意 for (int j = left; j <= right; j++) { a[j] = tmp[j]; } } //归并排序 void MergeSort(int* a, int n) { //临时数组 int* tmp = (int*)malloc(sizeof(int) * n); //调用子函数进行排序 _MergeSort(a, 0,n-1,tmp); //销毁 free(tmp); //这里置不置空没影响 tmp = NULL; }
(3)非递归版本
①实现思路
【1】首先将待排序数组中的每一个元素看成是一个大小为1的有序区间。
【2】然后将相邻的两个区间(保证每次合成的都是相邻区间，依靠间距gap来控制)合并成一个更大的有序区间，这可以通过归并排序中的合并操作来实现。
【3】重复步骤2，每次将相邻的两个有序子数组合并成更大的有序子数组，直到得到一个完整的有序数组。
【4】最终得到的有序数组就是排序结果。
②控制分组
关于间距gap对循环的控制：
gap=1，范围为1(gap)的区间是有序的，合并相邻两个区间，拷贝。
gap=gap*2=2，范围为2(gap)的区间是有序的，合并相邻两个区间，拷贝。
gap=gap*2=4，范围为4(gap)的区间是有序的，合并相邻两个区间，拷贝。
………………
一直到gap>=n(这个时候数组前n个数一定有序，n是数组元素个数，结束循环)
代码：
int gap = 1; while (gap < n) { for (int i = 0; i < n; i += 2 * gap) { int begin1 = i; int end1 = i + gap - 1; int begin2 = i + gap; int end2 = i + gap * 2 - 1; int index = i; while (begin1 <= end1 && begin2 <= end2) { //begin1小，放a[begin1] if (a[begin1] < a[begin2]) { tmp[index++] = a[begin1++]; } else { tmp[index++] = a[begin2++]; } } while (begin1 <= end1) { tmp[index++] = a[begin1++]; } while (begin2 <= end2) { tmp[index++] = a[begin2++]; } //排序一组拷贝一组 for (int j = i; j <= end2; j++) { a[j] = tmp[j]; } } gap *= 2; }
图解：
我们可以看到像前面那样进行分组是有很大可能越界的，那我们应该怎么做呢？
在合并拷贝前加上区间判断和修正后，排序不会越界了
③最终代码
//归并非递归 void MergeSortNonR(int* a, int n) { //临时数组 int* tmp = (int*)malloc(sizeof(int) * n); if (tmp == NULL) { printf("malloc error\n"); exit(-1); } int gap = 1; while (gap < n) { for (int i = 0; i < n; i += 2 * gap) { int begin1 = i; int end1 = i + gap - 1; int begin2 = i + gap; int end2 = i + gap * 2 - 1; int index = i; //end1,begin2,end2都有可能越界 if (end1 >= n || begin2 >= n) { break; } if (end2 >= n) { end2 = n - 1; } while (begin1 <= end1 && begin2 <= end2) { //begin1小，放a[begin1] if (a[begin1] < a[begin2]) { tmp[index++] = a[begin1++]; } else { tmp[index++] = a[begin2++]; } } while (begin1 <= end1) { tmp[index++] = a[begin1++]; } while (begin2 <= end2) { tmp[index++] = a[begin2++]; } //排序一组拷贝一组 for (int j = i; j <= end2; j++) { a[j] = tmp[j]; } } gap *= 2; } //释放 free(tmp); tmp = NULL; }
(4)时间，空间复杂度分析
空间复杂度：
开辟了空间大小和原数组相同的辅助数组，故空间复杂度为O(N)
时间复杂度：
【1】在归并排序的每一次合并操作中，需要将两个有序数组合并成一个有序数组，这个过程需要比较两个有序数组中所有元素，因此时间复杂度为O(N)。
【2】在归并排序中，每次将数组划分成两个长度大致相等的子数组，因此可以得到一个完全二叉树，其深度大约为logN。每层的合并操作的时间复杂度为O(N)，因此整个算法的时间复杂度为O(N*logN)。
(5)小结
归并排序的效率还不错，但是有O(N)的空间复杂度，更多是应用在解决磁盘中的外排序问题。
另外控制边界的方法并不止上面一种
除了右区间不在数组中(左右都越界)直接跳出(这个时候没有对tmp进行操作，对应位置为随机值)
我们也可以把右区间人为修改为不存在(begin>end)，这种情况下即使不需要合并也会拷贝到tmp中，我们就可以一次大循环结束再进行拷贝(拷贝一层)，但是这样不是很好理解
代码：
//归并非递归 void MergeSortNonR1(int* a, int n) { //临时数组 int* tmp = (int*)malloc(sizeof(int) * n); if (tmp == NULL) { printf("malloc error\n"); exit(-1); } int gap = 1; while (gap < n) { for (int i = 0; i < n; i += 2*gap) { int begin1 = i; int end1 = i + gap - 1; int begin2 = i + gap; int end2 = i + gap * 2 - 1; int index = i; //修正，让左区间不越界 if (end1 >= n) { end1 = n - 1; } //修正，让右区间不存在 if (begin2 >= n) { //begin2 > end2，区间不存在 begin2 = n ; end2 = n - 1; } //修正，让右区间不越界 if (end2 >= n) { end2 = n - 1; } while (begin1 <= end1 && begin2 <= end2) { //begin1小，放a[begin1] if (a[begin1] < a[begin2]) { tmp[index++] = a[begin1++]; } else { tmp[index++] = a[begin2++]; } } while (begin1 <= end1) { tmp[index++] = a[begin1++]; } while (begin2 <= end2) { tmp[index++] = a[begin2++]; } } //一层按组排序完，拷贝 for (int j = 0; j < n; j++) { a[j] = tmp[j]; } gap *= 2; } //释放 free(tmp); tmp = NULL; }
二：计数排序
(1)计数排序的基本思想
对于给定的输入序列中的每一个元素x，确定出小于x的元素个数
这样就可以直接把x放到以小于x的元素个数为下标的输出序列的对应位置上。
(这里其实是相对位置的概念，比如数组中最小值为0，它对应下标0位置，最小值为1000，也是对应下标0位置)
(2)实现思路
【1】遍历一遍，找出最大值和最小值
【2】依据最大值和最小值的差值来开辟辅助数组tmp
【3】计数，记录数组元素出现次数
【4】遍历tmp数组，进行拷贝
(3)图解加最终代码
图解：
最终代码：
//计数排序 void CountSort(int* a, int n) { //找出最大和最小 int max = a[0]; int min = a[0]; int i = 0; for (int i = 1; i < n; i++) { if (a[i] > max) { max = a[i]; } if (a[i] < min) { min = a[i]; } } //开空间加初始化 int* tmp = (int*)malloc(sizeof(int) * (max - min + 1)); if (tmp == NULL) { printf("malloc error\n"); exit(-1); } //必须初始化为0 memset(tmp, 0, sizeof(int) * (max - min + 1)); //计数 for (i = 0; i < n; i++) { tmp[a[i]-min]++; } //拷贝 int j = 0; for (i = 0; i < max - min + 1; i++) { while (tmp[i]--) { a[j++] = i + min; } } }
(4)时间，空间复杂度分析
空间复杂度：
开辟了空间大小为range(max-min+1)的辅助数组，故空间复杂度为O(range)
空间复杂度：
遍历a找最大和最小为O(N)
遍历a计数为O(N)
遍历range为O(range)
故时间复杂度为O(max(N,range))
(5)小结
计数排序是一种非比较的排序，它不需要进行数据间的比较。
算法设计上非常巧妙，时间复杂度最快可以达到O(N)，但是有一定的局限性
比如正负数同时存在或者数据大小浮动很大(1,2,3,1000000)的情况，可能导致空间的大量浪费，效率也会有所下降。
