如何快速给出解释——正交矩阵子矩阵的特征值的模必然不大于1

news2025/1/15 21:09:32

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首先快速回忆一下正交矩阵的定义：
A为n阶实矩阵，且满足A‘A=E或是说AA’=E，那么A为正交矩阵。

（啊，多么简洁的定义）

其次快速想到它的性质：
① 实特征值必然 $\pm 1$ 或其他复数

② 正交矩阵的行向量或列向量相互直接是正交的

③ 正交矩阵的模为1，这个很显然，给上面AA’或A’A等式两边去行列式，开平方加绝对值必然等于1

④ 正交阵的乘积仍然为正交阵，这个也很容易。马上来一个正交阵B，有B’B=E，那么A’A=E，给包上一层B’A’AB=B’EB=B’B=E，OK！轻而易举有正交阵AB，证毕。

⑤ 同时行向量或列向量的模也必然为1，这里还能推出各个元素必定小于等于1。

来个例子吧，这样更通俗易懂：

$\begin{pmatrix} x& y& 0&\\ & & &\\ & & & \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} x& & &\\ y& & &\\ 0& & & \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 1& & & \\ & & & \\ & & & \end{pmatrix}$

很明显了吧，直接明晰结论5。

如何快速给出解释——正交矩阵子矩阵的特征值的模必然不大于1

快速回忆完了，接下来就来到我们的主题：

开证，

假设有一个n>2阶的正交矩阵A，有随便一个子方阵C（C必定存在于A中）

记录C为s×s矩阵，其中C有一个模大于1的特征值u（复数），不妨记起特征向量为X.

先将A做初等变换，使这个子矩阵C在对角线上。

那么这一系列初等变换的矩阵记为D，D必然为正交阵。为啥捏？初等变换就三种，因为移到

对角线只用平移这一种，不涉及到乘数，从单位阵再对角回去的角度，乘以转置的D必然为单

位阵E。

那么由上面结论③，AD为正交阵，

不妨记现在：
$AD = \binom{C , V1}{V, V2}$

同时，AD的前n行s列我们单独拿出来。

由结论②有（C, V）’（C, V）=E，暂记（C, V）为矩阵

$\overline{H}$ 为H每个元素都去共轭之后的矩阵（跟共轭矩阵不是一回事哈）。显然对于实矩阵AD而言，H= $\overline{H}$ 。这里引 $\overline{H}$ 的目的是 ${\overline{u}}u$ 的引出。

${\overline{X}}'X= \overline{X}'EX={\overline{X}}'{H}'HX={\overline{X}}'{\overline{H}}'HX={\overline{X}}'({\overline{C}}'C+{\overline{V}}'V)X={\overline{X}}'{\overline{C}}'CX+{\overline{X}}'{\overline{V}}'VX=({\overline{CX}})'CX+({\overline{VX}})'VX=(\overline{u}\overline{X}')(uX)+({\overline{VX}})'VX=\overline{u}u\overline{X}'X+({\overline{VX}})'VX$