Depression mediated the relationships between precentral-subcortical causal links and motor recovery in spinal cord injury patients

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直达原文

这是一篇收录在神经科学领域一区期刊Cerebral Cortex的文章。文章主要研究的是抑郁是否会阻碍脊椎损伤（SCI）患者的运动恢复。

题目

文章题目很明确，Depression mediated（抑郁导致） precentral-subcortical causal links（大脑里一个叫做precentral-subcortical的区域的因果关系）和motor recovery in spinal cord injury patients（SCI患者的运动功能恢复）。所以说文章研究涉及两个内容，一个是抑郁和precentral-subcortical区域的因果关系；抑郁和SCI患者的运动功能恢复的关系。

Introduction

在引言部分，文章介绍了SCI患者可能出现心理抑郁的情况，并且抑郁会导致运动功能恢复受损。并且有足量的研究表明，大脑里NAcc这个区域作为运动中枢，在SCI患者早期恢复阶段可以促进motor cortex活动，进而使得SCI患者的运动能力得到改善。所以说，抑郁、motor cortex和运动恢复是存在一定联系的。因此接下来文章就想要探究这三者的联系。
在这里，作者的想法是通过格兰杰因果检验的方法判断他们之间的因果关系。在这里简单梳理一下格兰杰因果检验：

Granger causality analysis(GCA,格兰杰因果分析)

自回归

在了解格兰杰因果分析前，需要首先清楚“自回归”的概念。
在这里假设有一个时序数据:
$$T=[t_1,t_2,t_3,...,t_n]$$$$Y=[y_1,y_2,y_3,...,y_n]$$
这里的y与t一一对应。
在自回归的概念里，我们认为，若数据存在强时间关联性，那么当前时刻的数据应该是之前历史数据的共同结果。例如，今天下雨，那么大概率是之前云层中水分积累到了一个临界值。
因此，可以提出这样一种对当前时刻的预测表达：
$$y_t=\sum _0^{n-1}{a}_{t_i}{y}_{t_i}+\epsilon$$$$A=[a_1,a_2,a_3,...,a_{n-1}]$$
这里的$a_i$是$y_i$时刻的权重，$\epsilon$是噪声，A是她的权重系数矩阵。
这个公式表达意思是，今天下雨，那么是因为前天积累了60%水分，但是云层活动又消耗10%，昨天积累了70%，消耗了20%，所以今天下雨了。这个积累的水分就是$a_i{y}_i$，消耗的就是$\epsilon$。

二元自回归

自回归对时序数据的解释似乎很好，因为历史的各种原因的积累，导致了当前时刻的结果。但实际上当前时刻的结果并不是一个原因导致的，可能是各种原因一起作用导致的。例如今天下雨，云层积累的水量是确定相关的，但有没有可能是昨天萧敬腾来过呢，你并不能百分百确定萧敬腾来和下不下雨是否存在联系。没关系，先把这个回归方程写出来：
$$y_t=\sum _0^{n-1}{a}_{t_i}{y}_{t_i}+\sum _0^{n-1}{b}_{t_i}{x}_{t_i}+\epsilon$$$$B=[b_1,b_2,b_3,...,b_{n-1}]$$
接下来判断这个x是否与y构成相关。显然，如果x不影响y，那么B=[0,0,0,…,0]即可。
原假设H0：B=[0,0,0,…,0]；H1：B不全为0。
$$统计量F=\frac{(RS{S}_r-RS{S}_u)/m}{RS{S}_u/(n-(m+s))}，临界值F(m,n-(m+s))$$
若统计量F>临界值F则拒绝原假设，称x为y的格兰杰原因。
这里$RS{S}_r$表示有约束模型的残差平方和，也就是自回归模型的残差平方和，$RS{S}_u$表示无约束模型的残差平方和，也就是无约束的残差平方和，m是x的滞后期数，s是协率个数。

代码实现（以python为例）

from statsmodels.tsa.stattools import grangercausalitytests as GCA
import pandas as pd
import numpy as np

# 随机数据验证
# 创建一个两个array，分别有20个范围在0-50随机数据
df = pd.DataFrame(np.random.randint(0, 50, size=(20, 2)), columns=['y', 'x'])
# 这里的maxlag就是滞后期数
GCA(df[['y', 'x']], maxlag=2)

这里我们只需要关注p这一列的结果，必须所有的p都小于0.05才能证明x会影响y。

Output paramters：
number of lags 1/2: 当lags为1/2时的检测结果
ssr based F test: 残差平方和F检验
ssr based chi2 test: 残差平方和卡方检验
likelihood ratio test： 似然比检验
parameter F test: 参数F检验结果

接下来我们换一个具有相关性的人造数据看看结果：

x = np.random.rand(1, 10)
y = np.random.rand(1, 10)
y += x * np.random.rand(1,10)
df = pd.DataFrame({'y':y[0,:], 'x':x[0,:]}, columns=['y', 'x'])
GCA(df[['y', 'x']], maxlag=2)

在这种情况下，就说明x对y的预测确实有帮助，拒绝原假设，x与y有一定的内在联系。

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