一.跳跃游戏简单介绍
1. 跳跃游戏简单介绍
跳跃游戏是一种典型的算法题目，经常是给定一数组arr，从数组的某一位置i出发，根据一定的跳跃规则，比如从i位置能跳arr[i]步，或者小于arr[i]步，或者固定步数，直到到达某一位置，可能是数组的最后一个位置，也有可能是某一特别的数值处，也有可能在这个过程中，可能需要求解可能存在的最大值或者最小值。
对于跳跃游戏类的题目，经常使用贪心、动态规划、dfs、bfs等方法解决，对于可以使用dfs解决的题目，经常也可以使用动态规划，但一般贪心可以有更好的时间复杂度和空间复杂度。还有经常使用的动态规划剪枝、前缀和、滑动窗口和BFS，由于在大部分情况下，能用DFS解决的题目都可以用BFS解决，且两种方法有基本相同的复杂度，尤其是在跳跃游戏这类题目中，可以视为一种方法。
本文借青蛙酱主要复习动态规划三部曲。
2.跳跃游戏典型题目
（1）leetcode70 爬楼梯
（2）leetcode剑指 Offer 10- II. 青蛙跳台阶问题
（3）剑指 Offer II 088. 爬楼梯的最少成本
（4） leetcode55 跳跃游戏
（5）leetcode45 跳跃游戏 II
（6） leetcode1306 跳跃游戏 III
（7）leetcode1696 跳跃游戏 VI
（8）leetcode1871 跳跃游戏 VII
（9）leetcode1413 逐步求和得到正数的最小值
以上部分，请见：
跳跃游戏 （贪心/动态规划/dfs）
跳跃游戏 （动态规划剪枝/前缀和/滑动窗口/BFS剪枝）
3.动态规划三步曲复习
Java-算法-动态规划
二.跳跃游戏相关专题-青蛙酱🐸的奇妙冒险
1. 剑指 Offer 10- II 青蛙跳台阶问题
见 一.2.(2)
2. leetcode 2498 青蛙过河 II
给你一个下标从 0 开始的整数数组 stones ，数组中的元素 严格递增 ，表示一条河中石头的位置。
一只青蛙一开始在第一块石头上，它想到达最后一块石头，然后回到第一块石头。同时每块石头 至多 到达 一次。
一次跳跃的 长度 是青蛙跳跃前和跳跃后所在两块石头之间的距离。
更正式的，如果青蛙从 stones[i] 跳到 stones[j] ，跳跃的长度为 |stones[i] - stones[j]| 。
一条路径的 代价 是这条路径里的 最大跳跃长度 。
请你返回这只青蛙的 最小代价 。
输入：stones = [0,2,5,6,7]
输出：5
解释：上图展示了一条最优路径。
这条路径的代价是 5 ，是这条路径中的最大跳跃长度。
无法得到一条代价小于 5 的路径，我们返回 5 。
输入：stones = [0,3,9]
输出：9
解释：
青蛙可以直接跳到最后一块石头，然后跳回第一块石头。
在这条路径中，每次跳跃长度都是 9 。所以路径代价是 max(9, 9) = 9 。
这是可行路径中的最小代价。
class Solution {
public int maxJump(int[] stones) {
if(stones.length <= 2) return stones[1]-stones[0];
int ans = stones[2]-stones[0];
for(int i = 2; i < stones.length; i++) ans = Math.max(ans,stones[i]-stones[i-2]);
return ans;
}
}本题小结：
（1）首先思考，是跳所有的石头产生的结果最小还是漏过一些石头产生的结果最小，很显然，把所有的石头都跳过，在中间相当于插值，所产生的结果才有可能是最小的，即min(跳所有的石头)<=min(漏过一些石头)
（2）一句话贪心证明：大于三个的一段距离都可以进行分解成更小的段
3. leetcode 403. 青蛙过河
一只青蛙想要过河。 假定河流被等分为若干个单元格，并且在每一个单元格内都有可能放有一块石子（也有可能没有）。 青蛙可以跳上石子，但是不可以跳入水中。
给你石子的位置列表 stones（用单元格序号 升序 表示）， 请判定青蛙能否成功过河（即能否在最后一步跳至最后一块石子上）。开始时， 青蛙默认已站在第一块石子上，并可以假定它第一步只能跳跃 1 个单位（即只能从单元格 1 跳至单元格 2 ）。
如果青蛙上一步跳跃了 k 个单位，那么它接下来的跳跃距离只能选择为 k - 1、k 或 k + 1 个单位。 另请注意，青蛙只能向前方（终点的方向）跳跃。
输入：stones = [0,1,3,5,6,8,12,17]
输出：true
解释：青蛙可以成功过河，按照如下方案跳跃：跳 1 个单位到第 2 块石子,
然后跳 2 个单位到第 3 块石子, 接着 跳 2 个单位到第 4 块石子,
然后跳 3 个单位到第 6 块石子, 跳 4 个单位到第 7 块石子, 最后，
跳 5 个单位到第 8 个石子（即最后一块石子）。
输入：stones = [0,1,2,3,4,8,9,11]
输出：false
解释：这是因为第 5 和第 6 个石子之间的间距太大，没有可选的方案供青蛙跳跃过去。
DFS
class Solution {
int[] stones;
HashMap<Integer,Integer> map = new HashMap<>();
boolean flag = false;
public boolean canCross(int[] stones) {
this.stones = stones;
int len = stones.length;
if(stones[1] >= 2) return false;
for(int i =0; i < len; i++){
map.put(stones[i],i);
}
dfs(1,1,len);
return flag;
}
public void dfs(int index, int k, int len){
if(index == len-1){
flag = true;
return;
}
if(k == 1){
if(stones[index]+1 <= stones[len-1]){
if(map.containsKey(stones[index]+1)){
dfs(map.get(stones[index]+1),1,len);
}
}
if(stones[index]+2 <= stones[len-1]){
if(map.containsKey(stones[index]+2)){
dfs(map.get(stones[index]+2),2,len);
}
}
}
else{
if(stones[index]+k-1 <= stones[len-1]){
if(map.containsKey(stones[index]+k-1)){
dfs(map.get(stones[index]+k-1),k-1,len);
}
}
if(stones[index]+k <= stones[len-1]){
if(map.containsKey(stones[index]+k)){
dfs(map.get(stones[index]+k),k,len);
}
}
if(stones[index]+k+1 <= stones[len-1]){
if(map.containsKey(stones[index]+k+1)){
dfs(map.get(stones[index]+k+1),k+1,len);
}
}
}
}
}当然dfs是不能通过的
记忆化搜索
class Solution {
int[] stones;
HashMap<Integer,Integer> map = new HashMap<>();
boolean flag = false;
boolean[][] memo;
public boolean canCross(int[] stones) {
this.stones = stones;
int len = stones.length;
if(stones[1] >= 2) return false;
for(int i =0; i < len; i++){
map.put(stones[i],i);
}
memo = new boolean[len][len+1];
dfs(1,1,len);
return flag;
}
public void dfs(int index, int k, int len){
if(index == len-1){
flag = true;
return;
}
if(memo[index][k]) return;
if(k == 1){
if(map.containsKey(stones[index]+1)){
dfs(map.get(stones[index]+1),1,len);
}
if(map.containsKey(stones[index]+2)){
dfs(map.get(stones[index]+2),2,len);
}
}
else{
if(map.containsKey(stones[index]+k-1)){
dfs(map.get(stones[index]+k-1),k-1,len);
}
if(map.containsKey(stones[index]+k)){
dfs(map.get(stones[index]+k),k,len);
}
if(map.containsKey(stones[index]+k+1)){
dfs(map.get(stones[index]+k+1),k+1,len);
}
}
memo[index][k] = true;
}
}实际上以上的解法可以看出很多代码是可以重复的，可以写成for循环，堆结果合并，并处理k=1的特殊情况。
Ref.[1]:
DFS
class Solution {
Map<Integer, Integer> map = new HashMap<>();
public boolean canCross(int[] ss) {
int n = ss.length;
// 将石子信息存入哈希表
// 为了快速判断是否存在某块石子，以及快速查找某块石子所在下标
for (int i = 0; i < n; i++) {
map.put(ss[i], i);
}
// check first step
// 根据题意，第一步是固定经过步长 1 到达第一块石子（下标为 1）
if (!map.containsKey(1)) return false;
return dfs(ss, ss.length, 1, 1);
}
/**
* 判定是否能够跳到最后一块石子
* @param ss 石子列表【不变】
* @param n 石子列表长度【不变】
* @param u 当前所在的石子的下标
* @param k 上一次是经过多少步跳到当前位置的
* @return 是否能跳到最后一块石子
*/
boolean dfs(int[] ss, int n, int u, int k) {
if (u == n - 1) return true;
for (int i = -1; i <= 1; i++) {
// 如果是原地踏步的话，直接跳过
if (k + i == 0) continue;
// 下一步的石子理论编号
int next = ss[u] + k + i;
// 如果存在下一步的石子，则跳转到下一步石子，并 DFS 下去
if (map.containsKey(next)) {
boolean cur = dfs(ss, n, map.get(next), k + i);
if (cur) return true;
}
}
return false;
}
}
记忆化搜索
class Solution {
Map<Integer, Integer> map = new HashMap<>();
// int[][] cache = new int[2009][2009];
Map<String, Boolean> cache = new HashMap<>();
public boolean canCross(int[] ss) {
int n = ss.length;
for (int i = 0; i < n; i++) {
map.put(ss[i], i);
}
// check first step
if (!map.containsKey(1)) return false;
return dfs(ss, ss.length, 1, 1);
}
boolean dfs(int[] ss, int n, int u, int k) {
String key = u + "_" + k;
// if (cache[u][k] != 0) return cache[u][k] == 1;
if (cache.containsKey(key)) return cache.get(key);
if (u == n - 1) return true;
for (int i = -1; i <= 1; i++) {
if (k + i == 0) continue;
int next = ss[u] + k + i;
if (map.containsKey(next)) {
boolean cur = dfs(ss, n, map.get(next), k + i);
// cache[u][k] = cur ? 1 : -1;
cache.put(key, cur);
if (cur) return true;
}
}
// cache[u][k] = -1;
cache.put(key, false);
return false;
}
}以上四种解答，两种写法，在本质上一样，枚举在一个位置可能的情况，进行递归，DFS都不能通过，使用记忆化搜索降低时间复杂度，走过的路不再走。
动态规划
class Solution {
public boolean canCross(int[] ss) {
int n = ss.length;
// check first step
if (ss[1] != 1) return false;
boolean[][] f = new boolean[n + 1][n + 1];
f[1][1] = true;
for (int i = 2; i < n; i++) {
for (int j = 1; j < i; j++) {
int k = ss[i] - ss[j];
// 我们知道从位置 j 到位置 i 是需要步长为 k 的跳跃
// 而从位置 j 发起的跳跃最多不超过 j + 1
// 因为每次跳跃，下标至少增加 1，而步长最多增加 1
if (k <= j + 1) {
f[i][k] = f[j][k - 1] || f[j][k] || f[j][k + 1];
}
}
}
for (int i = 1; i < n; i++) {
if (f[n - 1][i]) return true;
}
return false;
}
}参考来源 Ref.
[1] leetcode 宫水三叶 【宫水三叶】一题四解 : 降低确定「记忆化容器大小」的思维难度
