图论 (Java) 从入门到入土 /第一部分图的基础-图的定义/

news2024/12/23 3:27:16

零.前言

图，是一种比较复杂的数据结构。和树的一个节点只和上层一个节点相连不同，在图中，任意两个节点都可能相连，且可能具有方向性，并且节点的边具有权重，因此，图被用于描述各种复杂的数据对象，在自然科学、社会科学和人文科学等诸多领域有着非常广泛的应用。

图论中一些经典的需要解决的问题有：图的遍历、图的连通性、图的判圈(环路检测)、最短路径、拓扑排序、最小生成树、网络流、二部图等。

图论中一些经典的需要掌握的算法有：DFS、BFS、并查集、Dijkstra、Floyd、Prim、Kruskal等，需要了解并掌握，都是经常食用的算法。

本系列的文章分为三个大的部分，包括图论基础，图的算法以及图的典型题目，此大部分是图的基础，包括图的整体定义，图的相关定义和图的表示，本文是有关于图的定义，主要是图的整体定义和图的相关定义。

一.图的基础

1.图的整体定义

定义：图(Graph)，由节点和边构成的一种集合，通常表示为 $G=(V,E)$ ，其中， $V$ 是节点， $E$ 是边，下图是一个典型的图的案例。

2.图的相关定义

节点（顶点）/ Vertices： $V=\left \{v_{1},v_{2}, v_{3}...v_{n} \right \}$ 是节点（顶点）所构成的集合，下图中 $v{_{1}}$ 是一个典型的节点。

边 / Edegs： $E=\left \{ e_{(1,2)} ,e_{(1,3)},...,e_{(i,j)}\right \}$ 是边构成的集合，下图 $e{_{1,3}}$ 是一个典型的边。

无向图(双向) / Undirected Graph：边没有方向，也可以说双向图，即边的两个节点互通。

有向图 / Directed Graph：边有方向， $e_{1,2}$ 和 $e_{2,1}$ 是两个不同的边，下图是一个典型的有向图。

有权图 / Weighted Graph：边有权重，下图是一个典型的有权图。在有权图中，边的权重可以想象成长度，也可以看成宽度，根据具体题目可以是不同单位不同概念的权重。

无权图 / Unweighted Graph: 边没有权重，默认都可以看作权重为1，下图是一个典型的无权图。

无向无权图 / Undirected Unweighted Graph: 边无向，边没有权重，下图是一个典型的无向无权图。

无向有权图 / Directed Weighted Graph: 边无向，边有权重，下图是一个典型的无向有权图。

有向无权图 / Directed Unweighted Graph: 边有向，边没有权重，下图是一个典型的有向无权图。

有向有权图 / Directed Weighted Graph: 边有向，并且边有权重，下图是一个典型的有向有权图。

度 / Degree：对节点来说，和几个节点相邻，度就是多少，在下图中，节点 $v{_{1}}$ 的度为3.

入度 / Indegree：在有向图中，有几个边指向自己，入度就是多少，在下图中，节点 $v{_{1}}$ 的入度为1.

出度 / Outdegree：在有向图中，自己指向几个节点，出度就是多少，在下图中，节点 $v{_{1}}$ 的出度为2.

路径 / Path：在图中，从一节点到另一节点经过的边（边的数量可为0，即从一节点到节点本身），在下图中， $\left \{e_{1,3},e_{3,4} \right \}$ 构成从 $v_{1}$ 到 $v_{4}$ 的一条路径。

路径长度 / Path Length：无权图中的路径单位之和(无权图默认为1)，有权图中的路径权重之和，在下方两张图中，从节点 $v_{1}$ 到 $v_{4}$ 的共色路径，无权图路径长度为2单位，有权图路径长度为5，那么在有向图中，我们的路径不一定存在，即无路径，比如在下图中，从 $v_{1}$ 到 $v_{5}$ 没有路径可以到达。

简单路径 / Simple Path：路径上没有重复节点，对于下图的从 $v_{1}$ 到 $v_{2}$ 两条路线来说，红色线路是简单路径，而蓝色路线不是简单路径。

最短路径 / Shortest Path：从一节点到另一节点所有可能的路径中最短的。在下图有向有权图中，从 $v_{1}$ 到 $v_{4}$ 的所有可能路径中，最短路径为2。

圈/环 Cycle/Loop：从一节点出发，回到本身，路径长度大于一个单位长度（通常从一个节点出发不经过任一路径，回到本身，通常不叫作圈/环），下图为一个圈/环。若从一节点出发，经过一个单位路径回到本身，期间不经过其他节点，通常被叫做伪图，即伪图的一个节点可以通过一条边和自己相连，下下图为一个伪图。

简单回路/简单环 Simple Cycle/Loop：从一节点出发，回到本身，期间不算起始节点和终节点的路径上，不包含重复节点，下图为一个简单回路。

完全图 / Complete Graph：图中的每一个节点与其他节点都相互连接，下图为一个典型的完全图。

子图 / Subgraph：对于一个图的所有节点和边都属于另外一个图的一部分，在下图中，右方的图为左图的一个子图。

稠密图 / Dense Graph：一个图接近完全图。

稀疏图 / Sparse Graph：边很少的图，下图展示了一个稠密图和一个稀疏图。

连通 / Connected：从一个节点沿着存在的路径可以到达另一个节点，称这两个节点是连通的，下图的 $v_{1}$ 和 $v_{2}$ 是连通的，而 $v_{1}$ 和 $v_{5}$ 是不连通的。

连通图 / Connected Graph：任意两节点之间连通的图称为连通图，下图左边和右边分别为一个连通图和一个非连通图，对于连通图来讲，连通分量就是它本身。

连通分量 / Connected Component：对于无向图而言，一个极大连通子图为一个连通分量。所有连通分量构成互相没有相同顶点的子图集合，在下图中，连通分量 $\left \{ v_{1},v_{2},v_{3},v_{4} \right \}$ 和连通分量 $v_{5}$ 构成子图集合。