分离变数法

news2024/12/23 22:48:18

今天是2022年11月28号
- 我的方程学的不太好，一些讲宇宙的，讲技术的，方程实在是看不懂
- 很多方程的解与参数不可分割
期末来了
- 有的人回去了
- 有的人要看光学了
- 我呢，已经废物了，节日快乐，大家伙节日快乐啊！！
分离变数法说简单，很简单，说难，肯定难
话说，我看过一些视频，将方程与动画制作的。挺好的，挺好的

知识梳理

前置知识

正交函数系与傅里叶级数

$\begin{Bmatrix} \varphi _n(x) \end{Bmatrix}(n=1,2,...)$ 为定义在区间 $[a,b]$ 上的函数系：

如果该函数系满足： $\int_{a}^{b}\varphi_n(x)\varphi^*_m(x)dx=0,m\neq n$

则称函数系 $\begin{Bmatrix} \varphi_n(x) \end{Bmatrix}$ 为 $[a,b]$ 上的正交函数系

如果函数系还满足： $\int_{a}^{b}\varphi_n(x)\varphi^*_n(x)dx=\int_{a}^{b}|\varphi_n(x)|^2dx=1$

则称函数系 $\begin{Bmatrix} \varphi_n(x) \end{Bmatrix}$ 为 $[a,b]$ 上的正交归一函数系

正交归一关系可记为：

$\int_{a}^{b}\varphi_n(x)\varphi_m^*(x)dx = \delta_{mn}=\left\{\begin{matrix} 0 &m\neq n \\ 1 & m=n \end{matrix}\right.$

函数空间

对建立于区间[a, b]上的函数空间，定义内积为

$[\varphi_m,\varphi_n]=\int_{a}^{b}\varphi_n(x)\varphi^*_m(x)dx$

范数

$||\varphi_n||=\sqrt{[\varphi_n,\varphi_n]}=\sqrt{\int_{a}^{b}\varphi_n(x)\varphi^*_n(x)dx}=\sqrt{\int_{a}^{b}|\varphi_n(x)|^2dx}$

正交（如上）
归一（如上）
Schwartz 不等式

$|\int_{a}^{b}\varphi_n(x)\varphi^*_m(x)dx|^2 \leq ||\varphi_m||^2||\varphi_n||^2$

正交归一函数系

$\begin{Bmatrix} \frac{\varphi_n(x)}{||\varphi_n(x)||} \end{Bmatrix}(n=1,2,3,...)$

正交函数系展开

$[a,b]$ 上的函数 $f(x)$ ，由正交函数系 $\begin{Bmatrix} \varphi_n(x) \end{Bmatrix}$ 展开为：

$f(x)=\sum_n C_n\varphi_n(x)$

展开系数为： $C_n=\frac{1}{||\varphi_n(x)||^2}\int_{a}^{b}f(x)\varphi_n^*(x)dx$

傅里叶级数

狄利克雷定理：略

$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_ncos\,n\omega x+b_nsin\,n\omega x)$

$\left\{\begin{matrix} a_n=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(x)cos\,n\omega x\,dx\\ b_n=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(x)sin\,n\omega x\,dx \end{matrix}\right.$

有限区间上函数的傅里叶展开

定义在有限区间 $[0,l]$ 上的函数 $f(x)$ ，可先将函数延拓为周期函数，再展为傅里叶级数

本征函数

本征函数又称为固有函数，为特定的齐次边界条件所固有
给出泛定方程和边界条件，相应的本征函数即已确定
分离变量的基础, 是函数以正交的本征函数系为基函数

边界条件	$u\|_{x=0}=u\|_{x=l}=0$	$u_x\|_{x=0}=u_x\|_{x=l}=0$
本征值	$\lambda = (\frac{n\pi}{l})^2,n=1,2,...$	$\lambda = (\frac{n\pi}{l})^2,n=0,1,2,...$
本征函数	$\begin{Bmatrix} sin\,\frac{n\pi}{l}\,x \end{Bmatrix}$	$\begin{Bmatrix} 1,cos\,\frac{\pi}{l}x,cos\frac{2\pi}{l}x,... \end{Bmatrix}$
边界条件	$u\|_{x=0}=u_x\|_{x=l}=0$	$u_x\|_{x=0}=u\|_{x=l}=0$
本征值	$\lambda = [(n+\frac{1}{2})\frac{\pi}{l}]^2,n=0,1,2,...$	$\lambda = [(n+\frac{1}{2})\frac{\pi}{l}]^2,n=0,1,2...$
本征函数	$\begin{Bmatrix} sin\,\frac{(n+\frac{1}{2})\pi}{l}\,x \end{Bmatrix}$	$\begin{Bmatrix} cos\,\frac{(n+\frac{1}{2})\pi}{l}\,x \end{Bmatrix}$

齐次方程的分离变数法

把偏微分方程分解成几个常微分方程，其中某些常微分方程带有附加条件，从而构成本征值问题

分离变数法的基本步骤

求满足齐次方程和齐次边界条件的变量分离形式的常微分方程和附加条件
求本征值和本征函数
得出分离变数形式的本征解
根据叠加原理求出一般解
利用初始条件求叠加系数，代入得定解问题的解

分离变数法的适用范围

具有齐次线性泛定方程和齐次边界条件的定解问题
1. 两端均为第一类齐次边界条件
2. 两端均为第二类齐次边界条件
3. 一端为第一类齐次边界条件，另一端为第二类齐次边界条件

非齐次边界条件问题

应当让尽可能多的边界条件齐次化

非齐次振动方程和输运方程

傅里叶级数法

直接求解非齐次方程的定解问题
- 适用于：
  - 非齐次泛定方程可以分离，且有可分离的齐次边界条件
- 试用解的技术形式由边界条件确定
- 解决齐次边界条件的振动和输运问题

齐次边界条件，分离变数法得到的解具有傅里叶级数表示形式

$u(x,t)=\sum_nT_n(t)X_n(x)$

其中关于X的部分为傅里叶级数的基本函数族，由边界条件决定，其系数为t的函数
将此试探解代入非齐次泛定方程，尝试分离出关于t的方程,结合初值条件,求出关于t的解,最后带入试探解可得方程的解.
操作步骤
1. 根据初始条件把所求的解展开为傅里叶级数
2. 分离出关于T的常微分方程并得出初始条件
3. 求出关于T的常微分方程的通解初始条件
4. 叠加求出定解问题的解

冲量定理法

把非齐次方程的定解问题转化为齐次方程的定解问题后求解
适用于：齐次的边界条件下的非齐次振动和输运问题

一般混合问题解的总结

例：

$\left\{\begin{matrix} u_{tt}-a^2u_{xx}=f_1(x,t) &\,\,\,(0<x<l,t>0) \\ u|_{x=0}=u_1(t),u|_{x=l}=u_2(t) & \,\,\, (t \geq 0)\\ u|_{t=0}=\varphi_1(x),u_t|_{t=0}=\psi _1(x) &\,\,\,(0\leq x\leq l) \end{matrix}\right.$