学习知识要实时简单回顾，我把学习的神经网络模型简单梳理一下，方便入门与复习。

神经网络模型

神经网络简介

  人工神经网络是在现代神经科学的基础上提出和发展起来的，旨在反映人脑结构及功能的一种抽象数学模型。自 1943 年美国心理学家W.McCulloch 和数学家 W. Pitts 提出形式神经元的抽象数学模型—MP 模型以来，人工神经网络理论技术经过了 50 多年曲折的发展。特别是 20 世纪 80 年代，人工神经网络的研究取得了重大进展，有关的理论和方法已经发展成一门界于物理学、数学、计算机科学和神经生物学之间的交叉学科。它在模式识别，图像处理，智能控制，组合优化，金融预测与管理，通信，机器人以及专家系统等领域得到广泛的应用，提出了 40 多种神经网络模型，其中比较著名的有感知机，Hopfield 网络，Boltzman 机，自适应共振理论及反向传播网络（BP）等。在这里我们仅讨论最基本的网络模型及其学习算法。

人工神经元模型

  下图表示出了作为人工神经网络（artificial neural network，以下简称 NN）的基本单元的神经元模型，它有三个基本要素：

1. 一组连接（对应于生物神经元的突触），连接强度由各连接上的权值表示，权值为正表示激活，为负表示抑制。

2. 一个求和单元，用于求取各输入信号的加权和（线性组合）

3. 一个非线性激活函数，起非线性映射作用并将神经元输出幅度限制在一定范围内（一般限制在 1,0或 -1,1 之间
   此外还有一个阈值${\theta }_k$
   以上作用可分别以数学式表达出来：
   $$u_k=\sum _{j=1}^p{w}_{ij}{x}_j,{\nu }_k=u_k-{\theta }_k,y_k=\phi ({\nu }_k)$$
     式中 $x_1,x_2,\cdots ,x_p$为输入信号，$w_{k1},w_{k2},\cdots ,w_{kp}$为神经元之权值， $u_k$ 为线性组合结果， ${\theta }_t$ 为阈值，$\phi (\cdot )$ 为激活函数， $y_k$ 为神经元 k 的输出。
     若把输入的维数增加一维，则可把阈值 ${\theta }_k$ 包括进去。例如
   $${\nu }_k=\sum _{j=0}^p{\nu }_{kj}{\mathbf{x}}_j,y_k=\phi \left(u_k\right)$$
     此处增加了一个新的连接，其输入为$x_0=-1(或+1)$ ，权值为$w_{{}_{k0}}={\theta }_{{}_k}(或b_{{}_k})$，如下图所示。
   激活函数 φ (⋅)可以有以下几种:

4. 阈值函数
   $$\phi (v)=\{\begin{array}{ll}1,& v\ge 0\\ 0,& v<0\end{array}$$
   即阶梯函数。这时相应的输出为
   $$y_k=\{\begin{array}{ll}1,& v_k\ge 0\\ 0,& v_k<0\end{array}$$
   其中 ${\nu }_k={\sum }_{j=1}^p{\nu }_{kj}{\mathbf{x}}_j-{\theta }_k$，常称此种神经元为 M − P模型。

5. 分段线性函数
   $$\phi (v)=\{\begin{array}{ll}1,& v\ge 1\\ & \\ \frac{1}{2}(1+v),& -1<v<1\\ & \\ 0,& v\le -1\end{array}$$
   它类似于一个放大系数为 1 的非线性放大器，当工作于线性区时它是一个线性组合器，放大系数趋于无穷大时变成一个阈值单元。

6. sigmoid 函数
   最常用的函数形式为
   $$\phi (v)=\frac{1}{1+\exp (-\alpha v)}$$
   参数 α> 0可控制其斜率。另一种常用的是双曲正切函数.
   $$\phi (v)=\tanh \left(\frac{v}{2}\right)=\frac{1-\exp (-v)}{1+\exp (-v)}$$
   Matlab 中的激活（传递）函数如下表所示：
   
   
     各个函数的定义及使用方法，可以参看 Matlab 的帮助（如在 Matlab 命令窗口运行help tansig，可以看到 tantig 的使用方法，及 tansig 的定义为$\phi (v)=\frac{2}{1+e^{-2v}}-1$)

网络结构及工作方式

  除单元特性外，网络的拓扑结构也是 NN 的一个重要特性。从连接方式看 NN 主要有两种。
7. 前馈型网络
  各神经元接受前一层的输入，并输出给下一层，没有反馈。结点分为两类，即输入单元和计算单元，每一计算单元可有任意个输入，但只有一个输出（它可耦合到任意多个其它结点作为其输入）。通常前馈网络可分为不同的层，第 i 层的输入只与第 1−i 层输出相连，输入和输出结点与外界相连，而其它中间层则称为隐层。
8. 反馈型网络
  所有结点都是计算单元，同时也可接受输入，并向外界输出。
  NN 的工作过程主要分为两个阶段：第一个阶段是学习期，此时各计算单元状态不变，各连线上的权值可通过学习来修改；第二阶段是工作期，此时各连接权固定，计算单元状态变化，以达到某种稳定状态。
  从作用效果看，前馈网络主要是函数映射，可用于模式识别和函数逼近。反馈网络按对能量函数的极小点的利用来分类有两种：第一类是能量函数的所有极小点都起作用，这一类主要用作各种联想存储器；第二类只利用全局极小点，它主要用于求解最优化问题。

蠓虫分类问题

  蠓虫分类问题可概括叙述如下：生物学家试图对两种蠓虫（Af 与 Apf）进行鉴别，依据的资料是触角和翅膀的长度，已经测得了 9 支 Af 和 6 支 Apf 的数据如下：
Af: (1.24,1.27)，(1.36,1.74)，(1.38,1.64)，(1.38,1.82)，(1.38,1.90)，(1.40,1.70)，
(1.48,1.82)，(1.54,1.82)，(1.56,2.08).
Apf: (1.14,1.82)，(1.18,1.96)，(1.20,1.86)，(1.26,2.00)，(1.28,2.00)，(1.30,1.96).
现在的问题是：

1. 根据如上资料，如何制定一种方法，正确地区分两类蠓虫。
2. 对触角和翼长分别为(1.24,1.80)，(1.28,1.84)与(1.40,2.04)的 3 个标本，用所得
   到的方法加以识别。
3. 设 Af 是宝贵的传粉益虫，Apf 是某疾病的载体，是否应该修改分类方法。如上的问题是有代表性的，它的特点是要求依据已知资料（9 支 Af 的数据和 6 支Apf 的数据）制定一种分类方法，类别是已经给定的（Af 或 Apf）。今后，我们将 9 支Af 及 6 支 Apf 的数据集合称之为学习样本。

求解

  为解决上述问题，考虑一个其结构如下图所示的人工神经网络 ，
  激活函数由$\phi (v)=\frac{1}{1+\exp (-\alpha \nu )}$来决定。
  图中最下面单元，即由 • 所示的一层称为输入层，用以输入已知测量值。在我们的例子中，它只需包括两个单元，一个用以输入触角长度，一个用以输入翅膀长度。中间一层称为处理层或隐单元层，单元个数适当选取，对于它的选取方法，有一些文献进行了讨论，但通过试验来决定，或许是最好的途径。在我们的例子中，取三个就足够了。最上面一层称为输出层，在我们的例子中只包含二个单元，用以输出与每一组输入数据相对应的分类信息．任何一个中间层单元接受所有输入单元传来的信号，并把处理后的结果传向每一个输出单元，供输出层再次加工，同层的神经元彼此不相联接，输入与输出单元之间也没有直接联接。这样，除了神经元的形式定义外，我们又给出了网络结构。有些文献将这样的网络称为两层前传网络，称为两层的理由是，只有中间层及输出层的单元才对信号进行处理；输入层的单元对输入数据没有任何加工，故不计算在层数之内。
具体解法如下：

clear
p1=[1.24,1.27;1.36,1.74;1.38,1.64;1.38,1.82;1.38,1.90;
1.40,1.70;1.48,1.82;1.54,1.82;1.56,2.08];
p2=[1.14,1.82;1.18,1.96;1.20,1.86;1.26,2.00
1.28,2.00;1.30,1.96];
p=[p1;p2]';
pr=minmax(p);
goal=[ones(1,9),zeros(1,6);zeros(1,9),ones(1,6)];
plot(p1(:,1),p1(:,2),'h',p2(:,1),p2(:,2),'o')
net=newff(pr,[3,2],{'logsig','logsig'});
net.trainParam.show = 10;
net.trainParam.lr = 0.05;
net.trainParam.goal = 1e-10;
net.trainParam.epochs = 50000;
net = train(net,p,goal);
x=[1.24 1.80;1.28 1.84;1.40 2.04]';
y0=sim(net,p)
y=sim(net,x)

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