引言

经典变分法是一种特别强大的工具，但是它要求控制量必须可导且无界，这在很多问题中都是不成立的。着陆器的软着陆，卫星的姿态控制，等等。从主观上都可以分析出来，着陆器的软着陆控制，肯定是先让着陆器自由落体，然后从某一个高度开始反向喷气，最后落地一瞬间速度刚好为0。卫星的姿态控制肯定是当姿态有偏差时，用最大力矩控制一次，然后让卫星通过惯性 “转” 一段时间再反向最大力矩控制一次。这个过程控制量肯定是不可导的。

因此，有很多最优控制问题，不能用变分法解决。所以，极小值原理和动态规划是比变分法更强大的工具。本文将介绍这两种理论，下一篇博客将给出变分法、极小值原理和动态规划在解决最优控制问题时的等价性推导。(当然，前提是这个最优控制问题本身可以用三种方法去解决才行；如果某个问题不能用变分法，那谈等价性是没有意义的。)

极小值原理

在计算和使用的时候，极小值原理和变分法的公式很相似，只不过在哈密顿函数上做了改变。因为 $u$ 可能不可导，所以就没有 $\frac{\partial H}{\partial u}=0$ 了，而是用别的方程或不等式去约束。下面直接通过一个问题的形式给出极小值原理。

问题：
$$\begin{array}{r}\begin{array}{rl}& \underset{u(t)\in \Omega }{\min }J=\phi \left[x(t_f),t_f\right]+{\int }_{t_0}^{t_f}L\left[x(t),u(t),t\right]dt\\ & s.t.\dot{x}(t)=f\left[x(t),u(t),t\right],x(t_0)=x_0,\psi \left[x(t_f),t_f\right]=0\end{array}\end{array}$$

由极小值原理，该问题实现最优控制的必要条件是：

1. 最优状态 $x^{\ast }(t)$ 和最优协状态 ${\lambda }^{\ast }(t)$ 满足正则方程 (这里与变分法是一样的)
   $$\begin{array}{r}\begin{array}{rl}{\dot{\lambda }}^{\ast }(t)& =-\frac{\partial H(x^{\ast },u^{\ast },{\lambda }^{\ast },t)}{\partial x}\\ \dot{x}(t)& =\frac{\partial H(x^{\ast },u^{\ast },{\lambda }^{\ast },t)}{\partial \lambda }=f\left[x^{\ast }(t),u^{\ast }(t),t\right]\end{array}\end{array}$$
   其中，$H(x,u,\lambda ,t)=L\left[x(t),u(t),t\right]+{\lambda }^T(t)f\left[x(t),u(t),t\right]$ 为哈密顿函数。
2. 在最优状态 最优控制 以及最优协变量上，对应的哈密顿函数取得最小值
   Tips: 这里与变分法不一样了，因为 $\frac{\partial H}{\partial u}=0$ 不一定成立。一方面，导数不一定存在；另一方面，极值点对应的 $u$ 不一定在容许控制范围内。
   $$\begin{array}{r}\begin{array}{r}H(x^{\ast }(t),u^{\ast }(t),{\lambda }^{\ast }(t),t)=\underset{u(t)\in \Omega }{\min }H(x^{\ast }(t),u(t),{\lambda }^{\ast }(t),t)\end{array}\end{array}$$
3. 边界条件与横截条件
   $$\begin{array}{r}\begin{array}{rl}{x}^{\ast }(t_0)& =x_0\\ \psi \left[x^{\ast }(t_f),t_f\right]& =0\\ {\lambda }^{\ast }(t_f)& =\frac{\partial \phi }{\partial x(t_f)}+\frac{\partial {\psi }^T}{\partial x(t_f)}\cdot \gamma \end{array}\end{array}$$
4. 当 $t_f$ 自由时，哈密顿函数还要满足终端时刻的横截条件
   $$\begin{array}{r}\begin{array}{r}H(t_f^{\ast })=-\frac{\partial \phi }{\partial t_f}-{\gamma }^T\frac{\partial \psi }{\partial t_f}\end{array}\end{array}$$

下边直接给出不同条件下的极小值原理的必要条件的表格：

$t_f$ 固定的情况

$t_f$ 自由的情况

动态规划

动态规划也可以用来解决最优控制问题，但是它最初是被设计用来解决多级决策问题的。比如一个地图，好多节点，研究怎么走代价最小的问题。它的公式看起来其实并不是像是控制领域的算法，更像是计算机领域的。它后来被扩展到离散系统的最优控制问题，每一个时间步就是一次决策。比如一共 10 秒，每秒钟 100 次，那么一共就是 1000 次决策，如果这1000次都是最优的，那么最后结果一定是最优的。

更进一步地，如果已知从 960 步到 1000 步的最优决策 $u_{960-1000}^{\ast }$，那么不论前边 959 步怎么控制，只要到第 960 步的时候，从 960 步到 1000 步的最优决策一定是 $u_{960-1000}^{\ast }$。这便是动态规划的核心：寻找最优子问题和重叠的子结构。很多计算机领域的经典问题都可以用动态规划建模和解决。(汉诺塔，走台阶等等，不搞计算机，不懂)

所以，一般情况下，基于动态规划的控制方法都是从后往前逆序求解的。先算第 1000 个最优决策是啥，然后算第 999 个，最后一步一步反推回第 1 个。仿真或者应用的时候再从第 1 个到第 1000 个顺序执行。典型的例子就是线性二次型最优控制 (LQR)，这种问题是有解析解的。

当然动态规划也有连续系统的版本，它就是大名鼎鼎的 HJB 方程。HJB 方程揭示了所有最优控制问题的本质，并且只要解出 HJB 方程，最优控制问题就解决了 (当然前提是有解)。问题就在于有很多非线性的最优控制问题，或者模型不确定的最优控制问题，我们明知道 HJB 方程的解存在且唯一，但就是找不到。由此也衍生出一个新兴的控制方法 (理论)：自适应动态规划 (Adaptive Dynamic Programming)，也叫近似动态规划 (Approximate Dynamic Programming)。它的另外一个名字比较接地气：强化学习控制。只不过说强化学习控制一般是从计算机的角度看这个问题，说 ADP 一般是从控制理论的角度看这个问题。扯远了…

连续系统 HJB 方程的推导

最优控制问题与 (1) 中所描述的相同。考虑到动态规划中的 “时序逆推” 的概念，取
$$\begin{array}{r}\begin{array}{r}J\left[x(t),t\right]=\phi \left[x(t_f),t_f\right]+{\int }_t^{t_f}L\left[x(\tau ),u(\tau ),\tau \right]d\tau \end{array}\end{array}$$
记为从 $t$ 时刻到 $t_f$ 时刻的代价函数，这个问题最终的目的是要求出 $J\left[x_0,t_0\right]$。

改写 (6)，得到
$$\begin{array}{r}\begin{array}{rl}J\left[x(t),t\right]& ={\int }_t^{t+\delta t}L\left[x(\tau ),u(\tau ),\tau \right]d\tau +\phi \left[x(t_f),t_f\right]+{\int }_{t+\delta t}^{t_f}L\left[x(\tau ),u(\tau ),\tau \right]d\tau \\ & ={\int }_t^{t+\delta t}L\left[x(\tau ),u(\tau ),\tau \right]d\tau +J\left[x(t+\delta t,t+\delta t)\right]\end{array}\end{array}$$

上式右边第一项应用积分中值定理，第二项应用 Taylor 展开，得到
$$\begin{array}{r}\begin{array}{rl}J\left[x(t),t\right]& ={\int }_t^{t+\delta t}L\left[x(\tau ),u(\tau ),\tau \right]d\tau +J\left[x(t+\delta t,t+\delta t)\right]\\ & =L\left[x(t+\alpha \delta t),u(t+\alpha \delta t),t+\alpha \delta t\right]\delta t+J\left[x(t),t\right]\\ & +\frac{\partial J^T}{\partial x}\delta x+\frac{\partial J}{\partial t}\delta t\\ & =L\left[x(t+\alpha \delta t),u(t+\alpha \delta t),t+\alpha \delta t\right]\delta t+J\left[x(t),t\right]\\ & +\frac{\partial J^T}{\partial x}\frac{dx(t)}{dt}\delta t+\frac{\partial J}{\partial t}\delta t\end{array}\end{array}$$
整理，得
$$\begin{array}{r}\begin{array}{r}L\left[x(t+\alpha \delta t),u(t+\alpha \delta t),t+\alpha \delta t\right]+\frac{\partial J^T}{\partial x}\frac{dx(t)}{dt}+\frac{\partial J}{\partial t}=0\end{array}\end{array}$$
令 $\delta t\to 0$，并应用最优性原理，有
$$\begin{array}{r}\begin{array}{r}\frac{\partial J^{\ast }\left[x(t),t\right]}{\partial t}=-\underset{u\in \Omega }{\min }\left\{L\left[x(t),u(t),t\right]+{\left[\frac{\partial J^{\ast }}{\partial x}\right]}^{T}f\left[x,u,t\right]\right\}\end{array}\end{array}$$
此时，定义哈密顿函数
$$H\left[x(t),u^{\ast }\left[x(t),\frac{\partial J^{\ast }}{\partial x},t\right],\frac{\partial J^{\ast }}{\partial x},t\right]=\underset{u\in \Omega }{\min }H\left[x(t),u(t),\frac{\partial J^{\ast }}{\partial x},t\right]$$

则，HJB 方程可以简写如下：
$$\begin{array}{r}\begin{array}{r}H\left[x(t),u^{\ast }\left[x(t),\frac{\partial J^{\ast }}{\partial x},t\right],\frac{\partial J^{\ast }}{\partial x},t\right]+\frac{\partial J^{\ast }}{\partial t}=0\end{array}\end{array}$$
同时满足边界条件：
$$J^{\ast }\left[x(t_f),t)f\right]=\phi \left[x(t_f),t_f\right]$$

至此，极小值原理与动态规划基本理论的学习笔记就结束了 (不放例题了，敲公式太麻烦了)。