[NOIP2000 提高组] 进制转换
题目描述
我们可以用这样的方式来表示一个十进制数: 将每个阿拉伯数字乘以一个以该数字所处位置为指数,以 10为底数的幂之和的形式。例如 123 可表示为 10^2+2*10^1+3*10^0 这样的形式。
与之相似的，对二进制数来说，也可表示成每个二进制数码乘以一个以该数字所处位置为指数,以 2 为底数的幂之和的形式。
一般说来，任何一个正整数 R 或一个负整数 -R 都可以被选来作为一个数制系统的基数。如果是以 R 或 -R 为基数,则需要用到的数码为 0,1,....R-1。
例如当 R=7 时,所需用到的数码是 0,1,2,3,4,5,6，这与其是 R 或 -R 无关。如果作为基数的数绝对值超过 10,则为了表示这些数码，通常使用英文字母来表示那些大于 9 的数码。例如对 16 进制数来说,用 A表示 10,用 B表示 11，用 C 表示 12，以此类推。
在负进制数中是用 -R 作为基数，例如 -15（十进制）相当于(110001)_{-2} （-2进制），并且它可以被表示为 2 的幂级数的和数：
(110001)_{-2}=1* (-2)^5+1* (-2)^4+0* (-2)^3+0*(-2)^2+0*(-2)^1 +1*(-2)^0
设计一个程序,读入一个十进制数和一个负进制数的基数, 并将此十进制数转换为此负进制下的数。
输入格式
输入的每行有两个输入数据。
第一个是十进制数 $n$。
第二个是负进制数的基数 $-R$。
输出格式
输出此负进制数及其基数，若此基数超过 $10$，则参照 $16$ 进制的方式处理。
样例 #1
样例输入 #1
30000 -2
样例输出 #1
30000=11011010101110000(base-2)
样例 #2
样例输入 #2
-20000 -2
样例输出 #2
-20000=1111011000100000(base-2)
样例 #3
样例输入 #3
28800 -16
样例输出 #3
28800=19180(base-16)
样例 #4
样例输入 #4
-25000 -16
样例输出 #4
-25000=7FB8(base-16)
提示:
【数据范围】
对于 100\% 的数据，-20 <= R <= -2，|n| <= 37336。
NOIp2000提高组第一题
思路：
我们都知道，首先按照10进制转成n进制的做法：
对这个数不断除以n，将余数一一存储，最后倒序输出。
那么有一个问题，此处原数和进制数都有可能为负数，也就意味着余数可能为负数，那么我们不可能输出像-100-100这种数。
那么怎么把负数转成正数？
我们基本思路分两点：
- 把负数转成符合n进制余数规律的正数
- 让转得的正数符合余数的计算模式
- 把负数转成符合n进制余数规律的正数
我们先来探讨一下二进制余数的规律：
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 那么规律就是0101010101…… |
那么我们只需让负数余数规律也为010101……，就解决了。
我们发现，每一组数，他们对应的间隔区间内的数是相等的。那么我们只需跳到它前面一个区间的数即可，因为区间长度为-m,（m为进制）。那么就转换成：
j-=m（j为原先算出来的负数，m为进制数）
- 让转得的正数符合余数的计算模式
光转成正数还不够，因为还不符合余数的计算。
众所周知，我们令n为被除数，m为除数和进制数,a为商,j为余数，可以得到：
n/m=a
n-a*m=j
根据我们刚刚推得的算法：j-=m，那么此时方程2两端同时减去m，得
n-a*m-m=j-m
提公因式，得
n-(a+1)*m=j-m
但我们还要让j-m符合余数计算模式，即符合n-a*m=j的形式。
显然，此时a=a+1正好符合n-a*m=j的形式。所以：
n++（此时n已经/=m）
完整代码：
#include <iostream>
using namespace std;
int n,m;
char a[100001];
int l=0;
int main(){
int i;
cin>>n>>m;
cout<<n<<"=";
while(n!=0){
int j=n%m;
n/=m;//十进制转n进制
if(j<0)j-=m,n++;//讲解的点
if(j<10)a[++l]=(char)(j+48);
else a[++l]=(char)((j-10)+'A');//两种不同的转法
}
for(i=l;i>=1;i--)cout<<a[i];//倒序输出
cout<<"(base"<<m<<")"<<endl;
}总结：
该题其实就靠数学功底来推，并不算是很难。
