1 微分方程的定义

同学们大家好，今天我们来学习微分方程的基础概念。

微分方程就是含有导数的方程，例如：

它就含有导数 ，因此它就是一个微分方程。而我们知道导数的写法不止一种，这个方程还可以写为：

写成这种形式后，可以看到，方程中含有导数的最高阶为 ，因此这个方程又称为一阶微分方程。

有一阶微分方程，就有二阶微分方程：

这个方程就是二阶微分方程，我们可以给出 阶微分方程的定义 阶微分方程的形式是：

在上述方程中 是必须出现的，而 等变量则可以不出现。

方程中只要保留最高次的导数，就是n阶微分方程，比如二阶微分方程中：

即使没有 与 ，方程式这样：

它仍然是二阶微分方程。

微分方程在物理中十分常见，例如我们熟知的牛顿第二定理：

将加速度 表示成速度的变化率 ，方程

就是一个微分方程，我们通过一道例题来了解一下它：

2 微分方程的例子

例已知一静止物体质量为 ，受到向右的力，大小为 ，求速率 与时间 的关系。

解：根据牛顿第二定理：

其中 ， ，代入可得微分方程：

整理得到：

两边同时积分：

计算得到：

再根据题目所给条件 时， ，可得

从而得到

这道例题虽然简单，但可以帮助我们了解微分方程：

初始式子可以看作：

当 时，无论 取何值，微分方程 都成立， 被称为 的通解。

而在 的条件下，解得 ，这称为微分方程的特解，这里用到的 称为初始条件。

3 通解与特解的几何意义

下面我们再几何上再来看看这个微分方程：

这个方程说明曲线再各点的导数为 ，即切线的斜率应该为

我们可以在坐标轴中取很多等距离的点，并在各个点作出斜率为 的小段直线，这个图像也被称为 的斜率场(线素场)。斜率场上的每根直线，就是图像在该点的斜率，根据斜率场，我们可以作出函数的图像：

这些函数不止一条，它们是 不同 取值时的图像，也就是微分方程的通解。

满足初值条件 的曲线，也就是过原点的曲线 ，是微分方程的特解。

4 总结

最后来总结一下：

(1)微分方程的解：如果某函数 可以满足n阶微分方程，那么 就是微分方程的解。

前面例子 中，通解 与特解 都满足微分方程，它们都是微分方程的解。

(2)微分方程的通解：如果微分方程包含任意常数，且任意常数个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解。

 是一阶微分方程，它的通解 含有一个任意常数

二阶微分方程 ，它的通解为 ，它包含两个任意常数 与 ，需要注意的是，通解不一定包含微分方程的所有解，例如这样的方程：

它的通解为 ，而 也是微分方程的解，但是它并没有包含在通解中。这样的解被称为奇解。

最后再来说说初始条件和特解

(3)初始条件和特解：用来确定任意常数的条件称为初始条件。确定了任意常数后所得到的解，被称为微分方程的特解。

如前面的例子中，通解为 ，初始条件 确定了任意常数 ，得到特解 

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