LCA 树上差分(点差分 ， 边差分)

news2025/1/11 21:53:13

文章目录

  • 1. LCA(求最近公共父节点 ， 求树上两点最短距离)
    • 先求节点深度 ， 处理 fa 数组 ， 然后做LCA过程
    • 板子(有根树 ， 无根树默认 1 为根即可)
      • 1.Dis(求树上两点最近距离)
      • 2.聚会
  • 树上差分
    • 用来处理树上的一些区间操作 ， 一般和LCA一起考察
    • 树上点差分 ， 对树上两节点间点权值处理 ：
      • 1. 松鼠的新家
    • 树上边差分 ， 对树上两节点间边权值处理 ：
      • 1. 暗的连锁

1. LCA(求最近公共父节点 ， 求树上两点最短距离)

先求节点深度 ， 处理 fa 数组 ， 然后做LCA过程

板子(有根树 ， 无根树默认 1 为根即可)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define fi first
#define se second
#define IOS std::ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0);
typedef long long ll;
const int N = 1e6+10;
const int mod = 1e9 + 7;
typedef pair<int,int>PII;
const int inf = 1 << 31 - 1;
const double eps = 1e-9;

vector<int>ve[N];
int n , m , s , d[N] , f[N][21]; // 第 i 个点的前 (1 << j) 个祖先是谁

void dfs(int x,int fa){
	
	f[x][0] = fa;
	for(int i=1;(1<<i)<=d[x];i++) f[x][i] = f[f[x][i-1]][i-1];//更新 st 表
	/*
		注意这里一定要写 小于等于(<=) 避免粗心导致忘记初始化 d[root] = 1
		写小于等于两种情况都合适
	*/
	
	for(auto k : ve[x]){
		if(k == fa) continue;
		d[k] = d[x] + 1;dfs(k,x);
	}//更新深度
}

int lca(int x,int y){
	if(d[x] < d[y]) swap(x , y);//d[x] 深度大
	for(int i=20;i>=0;i--) if(d[x] - (1 << i) >= d[y])	x = f[x][i];//跳到相同位置
	if(x == y) return x;//到达同一个点
	for(int i=20;i>=0;i--){
		if(f[x][i] != f[y][i]){
			x = f[x][i];
			y = f[y][i];
		}
	}//往上跳
	return f[x][0];
}



int main(){


	IOS

	cin >> n >> m >> s;
	for(int i=1;i<n;i++){
		int u , v;
		cin >> u >> v;
		ve[u].push_back(v);
		ve[v].push_back(u);		
	}//建边
	
	dfs(s,0);//建立 st 表和深度 
	
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int u , v;
		cin >> u >> v;
		cout << lca(u,v) << "\n";
	}//求lca
	
	return 0;
}
//freopen("文件名.in","r",stdin);
//freopen("文件名.out","w",stdout);

1.Dis(求树上两点最近距离)

在这里插入图片描述

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define fi first
#define se second
#define IOS std::ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0);
typedef long long ll;
const int N = 1e5+10;
const int mod = 1e9 + 7;
typedef pair<int,int>PII;
const int inf = 1 << 31 - 1;
const double eps = 1e-9;

int n , m , root;
vector<PII>ve[N];
int f[N][30] , d[N] , disx[N][30];

void dfs(int x,int fa,int dis){
	
	f[x][0] = fa;disx[x][0] = dis;
	for(int i=1;(1<<i)<=d[x];i++) f[x][i] = f[f[x][i-1]][i-1] , disx[x][i] = disx[x][i-1] + disx[f[x][i-1]][i-1];
	
	for(auto [y,l] : ve[x]){
		if(y == fa) continue;
		d[y] = d[x] + 1;dfs(y , x , l);
	}
}

int lca(int x,int y){
	int ans = 0;
	if(d[x] < d[y]) swap(x , y);
	for(int i=20;i>=0;i--) if(d[x] - (1 << i) >= d[y]) ans += disx[x][i] , x = f[x][i] ;
	if(x == y) return ans;
	for(int i=20;i>=0;i--){
		if(f[x][i] != f[y][i]){
			ans += disx[x][i] + disx[y][i];
			x = f[x][i];
			y = f[y][i]; 
		}
	}
	return ans + disx[x][0] + disx[y][0];
}

int main(){
	
	IOS
	
	cin >> n >> m;
	for(int i=1;i<n;i++){
		int u , v , w;
		cin >> u >> v >> w;
		ve[u].push_back({v,w});
		ve[v].push_back({u,w});
	}
	dfs(1 , 0 , 0);
	
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int u , v;
		cin >> u >> v;
		cout << lca(u,v) << "\n";
	}


	
	return 0;
}
//freopen("文件名.in","r",stdin);
//freopen("文件名.out","w",stdout);

2.聚会

洛谷P4281 聚会
问题：求树上三个点到达同一个点的最小距离 ， 和这个点的编号
结论：三个点两两之间求lca一定有两个相同 ， 不相同的那个就是要求点，最小距离等于两两之间距离和的一半

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define fi first
#define se second
#define IOS std::ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0);
typedef long long ll;
const int N = 5e5+10;
const int mod = 1e9 + 7;
typedef pair<int,int>PII;
const int inf = 1 << 31 - 1;
const double eps = 1e-9;

int n , m , root;
vector<int>ve[N];
int cnt[N] , f[N][21] , d[N][21] , h[N];
int a , b , c;

void dfs(int x,int fa,int l){
	
	f[x][0] = fa;d[x][0] = l;
	for(int i=1;(1<<i)<=h[x];i++){
		f[x][i] = f[f[x][i-1]][i-1];d[x][i] = d[x][i-1] + d[f[x][i-1]][i-1];
	} 	
	for(auto k : ve[x]){
		if(k == fa) continue;
		h[k] = h[x] + 1;dfs(k,x,1);
	}
	
}

int lca(int x,int y,int &t){
	
	int ans = 0;
	
	if(h[x] < h[y]) swap(x , y);
	for(int i=20;i>=0;i--) if(h[x] - (1 << i) >= h[y]) ans += d[x][i] , x = f[x][i]; 
	if(x == y){	t = x;	return ans; }
	
	for(int i=20;i>=0;i--){
		if(f[x][i] != f[y][i]){
			ans += d[x][i] + d[y][i];
			x = f[x][i];y = f[y][i];
		}
	}
	t = f[x][0];
	return ans + d[x][0] + d[y][0];
	
}

int r(int x,int y,int z){
	if(x == y) return z;
	else if(x == z) return y;
	else return x;
}

int main(){

	IOS
	
	cin >> n >> m;
	for(int i=1;i<n;i++){
		int u , v;
		cin >> u >> v;
		ve[u].push_back(v);
		ve[v].push_back(u);
		cnt[u]++;cnt[v]++;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) if(cnt[i] == 1) root = i;
	dfs(root , 0 , 0);
	
	
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int u , v , w , dd;
		cin >> a >> b >> c;
		dd = (lca(a,b,u) + lca(b,c,v) + lca(c,a,w)) / 2 ;
		cout << r(u,v,w) << " " << dd << "\n";
	}
	
	return 0;
}
//freopen("文件名.in","r",stdin);
//freopen("文件名.out","w",stdout);

树上差分

用来处理树上的一些区间操作 ， 一般和LCA一起考察

树上点差分 ， 对树上两节点间点权值处理 ：

两个节点 u , v
w = lca(u , v) 
x = f[w][0];
c[u]++;
c[v]++;
c[w]--;
c[x]--;

1. 松鼠的新家

洛谷 P3258 松鼠的新家

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define fi first
#define se second
#define IOS std::ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0);
typedef long long ll;
const int N = 3e5+10;
const int mod = 1e9 + 7;
typedef pair<int,int>PII;
const int inf = 1 << 31 - 1;
const double eps = 1e-9;

int n , a[N];
vector<int>ve[N];
int f[N][21] , d[N] , c[N];

void dfs(int x,int fa){
	f[x][0] = fa;
	for(int i=1;(1<<i)<=d[x];i++) f[x][i] = f[f[x][i-1]][i-1];
	for(auto k : ve[x]){
		if(k == fa) continue;
		d[k] = d[x] + 1;dfs(k,x);
	}
}

int lca(int x,int y){
	if(d[x] < d[y]) swap(x,y);
	for(int i=20;i>=0;i--) if(d[x] - (1<<i) >= d[y]) x = f[x][i];
	if(x == y) return x;
	for(int i=20;i>=0;i--){
		if(f[x][i] != f[y][i]){
			x = f[x][i];
			y = f[y][i];
		}
	}
	return f[x][0];
}

void dfs1(int x,int fa){
	for(auto k : ve[x]){
		if(k == fa) continue;
		dfs1(k,x);
		c[x] += c[k];
	}
}

int main(){

	IOS

	cin >> n;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin >> a[i];
	for(int i=1;i<n;i++){
		int u , v;
		cin >> u >> v;
		ve[u].push_back(v);
		ve[v].push_back(u);
	}
	
	dfs(1 , 0);
	
	for(int i=1;i<n;i++){
		int u = a[i] , v = a[i+1];
		int w = lca(u , v) , x = f[w][0];
		c[u]++;c[v]++;c[w]--;c[x]--;
	}
	
	dfs1(1,0);
	
	for(int i=2;i<=n;i++) c[a[i]]--;//除了第一个点之外的点都被重复计数一次
	//注意a[i] 存的是点信息 ， c[i]--; 是错误的
	for(int i=1;i<=n;i++) cout << c[i] << "\n";



	
	return 0;
}
//freopen("文件名.in","r",stdin);
//freopen("文件名.out","w",stdout);

树上边差分 ， 对树上两节点间边权值处理 ：

用一个边的子节点代表这个边(无根树以 1 为根 ， 那么 1 的差分数组是无意义的)
两个节点 u , v
w = lca(u , v) 
x = f[w][0];
c[u]++;
c[v]++;
c[w]-= 2;

1. 暗的连锁

思路 ：对于每一条附加边 ， 它可以在树上生成一条环 ， 那么这条环上的每一条主要边都需要砍掉这一条附加边才能断开 ， 每一条附加边都影响自己所构成的环 ， 最后 ， 受到影响 0 次的主要边可以砍掉任意附加边断开 ， 受到影响一次的主要边只能砍影响他的附加边 ， 影响一次及以上的无法断开
计数的时候做树上边差分即可

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define fi first
#define se second
#define IOS std::ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0);
typedef long long ll;
const int N = 1e5+10;
const int mod = 1e9 + 7;
typedef pair<int,int>PII;
const int inf = 1 << 31 - 1;
const double eps = 1e-9;

int n , m , ans;
vector<int>ve[N];
int f[N][21] , d[N] , c[N];

void dfs(int x,int fa){
	f[x][0] = fa;
	for(int i=1;(1<<i)<=d[x];i++) f[x][i] = f[f[x][i-1]][i-1];
	for(auto k : ve[x]){
		if(k == fa) continue;
		d[k] = d[x] + 1;dfs(k,x);
	}
}

int lca(int x,int y){
	if(d[x] < d[y]) swap(x,y);
	for(int i=20;i>=0;i--) if(d[x] - (1<<i) >= d[y]) x = f[x][i];
	if(x == y) return x;
	for(int i=20;i>=0;i--){
		if(f[x][i] != f[y][i]){
			x = f[x][i];
			y = f[y][i];
		}
	}
	return f[x][0];
}

void dfs1(int x,int fa){
	for(auto k : ve[x]){
		if(k == fa) continue;
		dfs1(k , x);
		c[x] += c[k];
	}
	
	if(c[x] == 0 && x != 1) ans += m;
	else if(c[x] == 1) ans += 1;
}

int main(){

	IOS
	cin >> n >> m;
	for(int i=1;i<n;i++){
		int u , v;
		cin >> u >> v;
		ve[u].push_back(v);
		ve[v].push_back(u);
	}
	
	dfs(1,0);
	
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int u , v , w;
		cin >> u >> v;
		w = lca(u,v);
		c[u]++;c[v]++;c[w] -= 2;
	}
	
	dfs1(1,0);
	
	cout << ans;
	
	
	

	
	return 0;
}
//freopen("文件名.in","r",stdin);
//freopen("文件名.out","w",stdout);

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