Trie|并查集|堆|

news2024/9/30 23:27:39

目录

初始化

插入

查询

合并集合 

连通块中点的数量 

堆排序 

 模拟堆


 

Trie树是用来快速存储和查找字符串集合的数据结构

 

#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 100010;
int son[N][26];//本题为小写因为字母,每个节点最多有26个子节点,所以是N,26
int cnt[N];//以当前节点结尾的字符有多少个
int idx;//当前所用到的下标,下标是0的点,即使根节点,又是空节点
char str[N];
void insert(char str[])
{
	int p = 0;
	for (int i = 0; str[i]; i++)//str结尾是\0,我们这里用str[i]判断是否走到了结尾
	{
		int u = str[i] - 'a';//当前字母对应的子节点编号,把a-z,映射成0-25
		if (!son[p][u]) son[p][u] = ++idx;//如果当前p节点不存在u当前所代表的字母,我们就把它创建出来
		p = son[p][u];//走到下一个点
	}
	cnt[p]++;// 结束的时候 p 指向的点 对应 插入字符串的最后一个字符,表示以该点结尾的单词数量多了一个
}
int query(char str[])//查询操作
{
	int p = 0;
	for (int i = 0; str[i]; ++i)
	{
		int u = str[i] - 'a';
		if (!son[p][u])//如果不存在该节点
			return 0;
		p = son[p][u];///否则的话就走到下一个点
	}
	return cnt[p];
}
int main()
{
	int n;
	scanf("%d", &n);
	while (n--)
	{
		char op[2];//存储操作类型
		scanf("%s%s", op, str);
		if (op[0] == 'I')
		{
			insert(str);
		}
		else
			printf("%d\n",query(str));
	}
	return 0;
}

Trie(字典树)是一种用于实现字符串快速检索的多叉树结构。Trie 的每个节点都拥有若干个字符指针,若在插入或检索字符串时扫描到一个字符 c,就沿着当前节点的 c 字符指针,走向该指针指向的节点。

Trie树可以 高效 支持 两个操作

  • 存储字符串集合
  • 查询字符串集合

有一个 经验:凡是用到Trie树的题目,一般来说给出的字符串要么全是小写字母,要么全是大写字母,要么都是数字,要么全是01,总之字母类型不是很多。

下面来看看它是如何高效存储字符串的:

初始化

一棵空Trie树 仅包含一个根节点,该点的字符指针 均指向空

插入

(1)过程分析

当需要 插入一个字符串S 时,我们令一个指针Р起初指向根节点。然后,依次扫描S中的每个字符c:

  • 1.若Pc字符指针 指向一个已经存在的节点Q,则 P= Q
  • 2.若Pc字符指针 指向空,则 新建一个节点Q,令Pc字符指针 指向Q,然后 令P=Q

s中的字符 扫描完毕时,在当前节点P上 标记它是一个字符串的末尾

下图展示了 向Trie树中插入字符串过程,每插入一个字符串 都会标记一次
在这里插入图片描述
在上图所示的例子中,需要插入和检索的字符串都由小写字母构成,所以Trie 的每个节点具有26个字符指针,分别为a到 z

上图展示了在一棵空Trie中依次插入“cab"、“cos"、"car"、“cat”、" cate” 和 “rain” 后的 Trie 的形态,灰色 标记了 单词的末尾节点

可以看出在Trie 中,字符数据都体现在树的边(指针)上树的节点仅保存一些额外信息,例如 单词结尾标记等。

(2)空间复杂度

O(NC),其中 N是节点个数(即我们想要存储的字符串的最大长度),C是字符集的大小(如:26个字母则 C = 26,Trie树中 每个节点最多向外生26条边)。

(3)时间复杂度

树的高度成正相关

(4)代码片段

const int N = 1e7+10;
inr son[N][26]; //存储Trie树中每个点所有儿子
int cnt[N]; //存储以当前这个节点结尾的单词有多少个
int idx; //当前用到了哪个下标,下标是0的节点既是根节点,又是空节点

void insert(string s)
{
    int p = 0; //从根节点开始
    for(int i=0; i<s.size(); ++i) //从前往后遍历所插字符串的每个字符
    {
        int u = s[i] - 'a'; //每次将遍历到的当前字符对应的子节点编号求出(将小写字母 a~z 映射成 0~25)
        if(!son[p][u]) son[p][u] = ++idx; //如果当前节点 p 不存在 u 这个儿子,就创建出来
        p = son[p][u]; //走到下一个点
    }
    cnt[p]++; //结束的时候 p 指向的点 对应 插入字符串的最后一个字符,表示以该点结尾的单词数量多了一个
}

查询

(1)过程分析

当需要 查询一个字符串STrie中是否存在 时,我们令一个指针Р起初指向根节点,然后依次扫描S中的每个字符c:

  • 1.若Pc字符指针 指向空,则说明S没有被插入过Trie结束查询
  • 2.若Pc字符指针 指向一个已经存在的节点Q,则 P =Q

S中的字符 扫描完毕时,若当前节点Р 被标记为一个字符串的末尾,则说明STrie中 存在否则 说明 s没有被插入过Trie

(2)时间复杂度

树的高度成正相关

(3)代码片段

int query(string s) //返回的值是字符串出现的次数
{
    int p=0; //从根节点开始
    for(int i=0; i<s.size(); ++i)
    {
        int u = s[i]-'a'; //每次将遍历到的当前字符对应的子节点编号求出(将小写字母 a~z 映射成 0~25)
        if(!son[p][u]) return 0; //如果当前节点 p 不存在 u 这个儿子,说明当前集合不存在这个单词,直接返回 0 即可
        p = son[p][u]; //否则的话就走到下一个点
    }
    return cnt[p]; //返回以 p 结尾的单词数量
}

合并集合 

 

 

并查集可以在近乎O(1)的时间复杂度内支持这俩个操作 

  

 合并:让一个树成为另一棵树的子树

#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 100010;
int p[N];//存储每个元素的父节点,当p[i]=i时,i就是树根
int n,m;
int find(int x)//返回x所在集合的编号(返回x的祖宗节点)+路径压缩
{
	if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]); 
	return p[x];
}
int main()
{
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		p[i] = i;//先把所有p节点的值赋成自己
	}
	while (m--)
	{
		char op[2];
		int a, b;
		scanf("%s%d%d", op,&a,&b);
		if (op[0] == 'M')
		{
			p[find(a)] = find(b);//合并操作,让A的祖宗节点成为B祖宗节点的子节点

		}
		else//判断俩节点是不是在同一集合里
		{
			if (find(a) == find(b))
			{
				puts("Yes");
			}
			else
				puts("No");
		}
	}
	return 0;
}

 如何知道当前集合个数?

连通块中点的数量 

 

把a插到b里面,之后更新size[b]即可 

#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 100010;
int p[N],SIZE[N];//存储每个元素的父节点,当p[i]=i时,i就是树根,size[N]表示每个集合里面点的数量,只有根节点的size有意义 
int n,m;
int find(int x)//返回x所在集合的编号(返回x的祖宗节点)+路径压缩
{
	if (p[x] != x) 
p[x] = find(p[x]); //起到路径压缩的作用
	return p[x];
}
int main()
{
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		p[i] = i;//先把所有p节点的值赋成自己
		SIZE[i] = 1;//最开始每个集合里面只有一个点
	}
	while (m--)
	{
		char op[5];
		int a, b;
		scanf("%s", op);
		if (op[0] == 'C')
		{
			scanf("%d%d", &a, &b);
			if (find(a) == find(b))
				continue;
			SIZE[find(b)] += SIZE[find(a)];
			p[find(a)] = find(b);//合并操作,让b的祖宗节点成为a祖宗节点的子节点

		}
		else if (op[1] == '1')//询问是否在俩个集合当中Q1
		{
			scanf("%d%d", &a, &b);
			if (find(a) == find(b))
				puts("Yes");
			else
				puts("No");
		}
		else//某集合点中的数量
		{
			scanf("%d", &a);
			printf("%d\n", SIZE[find(a)]);
		}
	}
	return 0;
}

堆排序 

  

 

 

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 100010;
int n, m;
int h[N], SIZE;//size表示堆中当前有多少个元素
void down(int u)
{
	int t = u;//t表示左右儿子和父节点中的最小值
	if (u * 2 <= SIZE&& h[u * 2] < h[t]) t = u * 2;//如果数据在范围内,而且左儿子小于最小值,则t就是左儿子
	if (u * 2 + 1 <= SIZE && h[t] > h[u * 2 - 1]) t = u * 2 - 1;//右儿子
	if (u != t)//如果U不等于t,说明根节点就不是最小值,我们把最小值和根节点换一下即可
	{
		swap(h[u], h[t]);
		down(t);
	}

}
int main()
{
	scanf("%d%d", &n,&m);
	for (int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", &h[i]);
	SIZE = n;
	for (int i = n / 2; i; i--)
	{
		down(i);
	}//从n/2开始建堆,会优化时间复杂度到O(N)
	while (m--)
	{
		printf("%d", h[1]);//打印堆顶元素
		//删除堆顶元素
		h[1] = h[SIZE];
		SIZE--;
		down(1);
	}
	return 0;
}

up操作 

void up(int u)
{
	while (u / 2 && h[u / 2] > h[u])//只要有父节点,而且当前节点大于父节点,就换上去
	{
		swap(h[u / 2], h[u]);
		u /= 2;
	}
}

 模拟堆

 

  

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