差错控制🍉

无论通信系统如何可靠，都不能做到完美无缺。因此，必须考虑怎样发现和纠正信号传输重的差错。通信过程中出现的差错大致可以分为两类：

一类是由热噪声引起的随机错误；热噪声：一种由电子的热运动产生的，热噪声时刻存在，具有很宽的频谱，且幅度较小。通信线路的信噪比越高，热噪声引起的差错就越少。这种差错具有随机性，影响个别位，称其为随机性差错。
另一类是由冲击噪声引起的突发错误。冲击噪声：是一种外界的电磁干扰，例如打雷闪电时产生的电磁干扰，电焊机引起的电压波动等。冲击噪声持续的时间短而幅度大，往往引起一个位串出错。根据它的特点，称其为突发性差错。

突发性差错影响局部，而随机性差错总是断续存在，影响全局。所以要尽量提高通信设备的信噪比，以满足要求的差错率。此外，要进一步提高传输质量，就需要采用有效的差错控制办法，常见的有：奇偶校验方法、海明码检验方法和循环冗余校验方法（CRC），在介绍他们之前必要的前缀知识点：

检错：接收方知道有差错发生，但不知道是怎样的差错，向发送方请求重传。
纠错：接收方知道有差错发生，而且知道是怎样差错。
差错控制原理：传输k位，加入r位冗余（如何加入取决于使用什么校验算法），接收方收到进行计算比较。

检错码（奇偶校验法）👑

奇偶校验是最常用的、简单的数据验证方法，它通过加入一个“校验位”来检查数据传输中是否出现了错误。在奇偶校验中，将要传输的数据被分成固定长度的几个组（比如每8位分为一组），在每组的末尾增加一个“奇偶校验位”，使得每组中的1位数的个数为奇数或偶数。在接收端，根据接收到的数据，在每组的数据中计算校验位的奇偶性，如果发现出现了不一致的情况，则说明数据传输出现了错误。例如：在7位ASCll码后增加一位，使码字中1的个数变成奇数（奇校验：1011 010 + [1]）或偶数（偶校验：1011 010 + [0]）。

缺点：只能对付少量的随机性错误。🎈

为了能检验突发性的位串出错，可以使用校验和的办法。这种方法把数据块中的每个字节当作一个二进制整数。在发送端发送过程中按模256相加。数据块发送完成后，把得到的和作为校验字节再发送出去。接收端在接受过程中对接受的数据块进行同样的加法运算，发送端数据块加完后用自己得到的校验和与接收端的校验和对比，从而发现是否出错。

有一种简单的实现方法：

在校验字节发送前，对累加器中的数取2的补码。这样，如果不出错，接收端在加完整个数据块以及校验和后累加器中是0。这种方法的好处是由于进位的关系，一个错误可以影响到更高位，从而使出错位对校验字节的影响扩大了。可以粗略的认为，随机的突发性错误对校验和的影响也是随机的。出现突发错误而得到正确的校验字节概率是1/256，于是就有255：1的机会能检查出任何错误。

海明码👑

海明码不仅可以检错还可以纠错，想要理解海明码，必备的知识点：

海明距离🎈：一个码字要变成另一个码字时必须改变的最小位数，另一种解释：两个码字之间不用的比特数。把1011 01 00 变成 1011 01 11，故需要把最后两位的00变成11，海明距离则为2。

海明码原理🎈：在数据中间加入几个校验码，码距均匀拉大，当某一位出错，会引起几个校验位的值发生变化。

海明不等式🍉：校验码个数为k，可以表示2**k个信息，1个信息用来表示“没有错误”，其余2**k-1个表示数据中存在错误，如果满足： $gif.latex?%5B1_%7B%281%29%7D%2C%5B%5D_%7B%282%29%7D%2C%201_%7B%283%29%7D%2C%20%5B%5D_%7B%284%29%7D%2C%200_%7B%285%29%7D%2C%201_%7B%286%29%7D%2C%201_%7B%287%29%7D%2C%20%5B%5D_%7B%288%29%29%7D%2C%200_%7B%289%29%7D%2C%201_%7B%2810%29%29%7D%2C%201_%7B%2811%29%29%7D%5D$

$gif.latex?2%5E%7Bk%7D-1%20%5Cgeq%20m%20+%20k$

（m为信息位，m+k为编码后的数总长度）

则在理论上k个校验码就可以判断是哪一位出现了问题。

海明码编码🍉

第2**i(i=0,1,2,3...)位是校验位，其余位为数据位，用于存放数据。

比如一个数据：

$gif.latex?%5B%5B%5D_%7B%281%29%7D%2C%5B%5D_%7B%282%29%7D%2C%201_%7B%283%29%7D%2C%20%5B%5D_%7B%284%29%7D%2C%200_%7B%285%29%7D%2C%200_%7B%286%29%7D%2C%201_%7B%287%29%7D%2C%20%5B%5D_%7B%288%29%29%7D%2C%200_%7B%289%29%7D%2C%201_%7B%2810%29%29%7D%2C%201_%7B%2811%29%29%7D%5D$

（[]：校验位，下标：校验位/数据位所处数据的第几位）

数据位是由校验位生成的，原理如下：

从下标为3位数据位开始，(3)=[2]+[1]，(5)=[4]+[1]，(6)=[4]+[2]，(7)=[4]+[2]+[1]，(9)=[8]+[1]，(10)=[8]+[2]，(11)=[8]+[2]+[1]。

可以看出：下标为(6)的数据位是由下标为[4]和[2]的校验位+1组成的，同样的下标为(7)的数据位是由下标为[4]和[2]的校验位组成的，以此类推...

ACK1 = (3,5,7,9,11)，即(3）,(5)，(7)，(9)，(11)号数据位参与[1]位校验位的校验；
ACK2 = (3,6,7,10,11)，即(3)，(6)，(7)，(10)，(11)号数据位参与[2]位校验位的校验；
ACK4 = (5, 6, 7)，即(5)，(6)，(7)号数据位参加[4]位检验位的校验；
ACK8 = (9, 10, 11)，即(9)，(10)，(11)数据位参与[8]位校验位的校验。

如此，将他们全部按照偶校验计算，最终可以得到：

$gif.latex?%5B1_%7B%281%29%7D%2C%5B0%5D_%7B%282%29%7D%2C%201_%7B%283%29%7D%2C%20%5B1%5D_%7B%284%29%7D%2C%200_%7B%285%29%7D%2C%200_%7B%286%29%7D%2C%201_%7B%287%29%7D%2C%20%5B0%5D_%7B%288%29%29%7D%2C%200_%7B%289%29%7D%2C%201_%7B%2810%29%29%7D%2C%201_%7B%2811%29%29%7D%5D$

[0]

[1]

[0]

[2]号校验位，填充的数字是0：因为(3)，(6)，(7)，(10)，(11)号数据位中一共有4个1，为偶数。
[4]号校验位，填充的数字是1：因为(5)，(6)，(7)号数据位只有(7)号数据位有一个1，所以需要添加一个1使得1的数量为偶数。
以此类推...

那么我们如何通过校验位和数据位的关系，进行数据校验呢？假设这个码字传输的过程中(6)号数据位出错，即接收端接受数据变成：

$gif.latex?%5Cbg_red%20%5B1_%7B%281%29%7D%2C%5B0%5D_%7B%282%29%7D%2C%201_%7B%283%29%7D%2C%20%5B1%5D_%7B%284%29%7D%2C%200_%7B%285%29%7D%2C%201_%7B%286%29%7D%2C%201_%7B%287%29%7D%2C%20%5B0%5D_%7B%288%29%29%7D%2C%200_%7B%289%29%7D%2C%201_%7B%2810%29%29%7D%2C%201_%7B%2811%29%29%7D%5D$