19184 传球游戏

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题型: 编程题语言: G++;GCC;VC;JAVA

Description

n个同学站成一个圆圈，其中的一个同学手里拿着一个球，每个同学可以把球传给自己左右的两个同学中的一个（左右任意）。
从1号同学手里开始传的球，传了m次以后，又回到1号同学手里，请问有多少种不同的传球方法。
两种传球方法被视作不同的方法，当且仅当这两种方法中，接到球的同学按接球顺序组成的序列是不同的。
比如有三个同学1号、2号、3号，球传了3次回到1号手里的方式有1->2->3->1和1->3->2->1，共2种。

输入格式

一行，有两个用空格隔开的整数n,m(3≤n≤30,1≤m≤30)。

输出格式

符合题意的方法数。

输入样例

3 3

输出样例

解题思路

一、深度优先搜索

解题思路

搜索即将所有情况列出来，每传到一个同学手中时，他都有两种选择，一个是往左传，一个是往右传，我们只要计算传到最后一次时是否传回第一个人手中即可。

类似于击鼓传花，只不过击鼓传花结束条件是时间到了，而这题的结束条件是传的次数到了。

算法思路

递归的传参有两个，一个是记录传到第几次，一个是记录传到编号为几的人手上。
递归终止条件，达到第 m 次；如果此时符合条件（即传到第一个人手上），就将记录的 res 进行加一即可。
每次递归都有两种选择，一个是往左传，一个是往右传。
注意在编写第三步时，要分三种特殊情况，因为此题为圆圈，第一个人可以传到最后一个人手上，最后一个人可以传到第一个人手上。因此第一种情况是此时传到第一个人手中，第二种情况时此时传到最后一个人手中，第三种情况就是普通情况，传到中间任意一个人手中

补充

如果此题还要求输出传递的序列，那么便可新增一个记录序列的 nums 数组，在递归时同时压入 nums，且需要记得回溯即可（即还原状态）。

更多注释可查看下方的完整代码中，有助于理解

代码如下

#include <map>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <utility>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
/*
3 3
*/
using namespace std;
const int N = 1050;
const int inf = 1e9+7;
const int mod = 1e9+7;
const double pi = acos(-1.0);
const double eps = 1e-9;
typedef long long ll;

int n, m; // n 个同学传 m 次
int res = 0;

// cur 为传了几次，i 为传到序号为几的人手上
void dfs(int cur, int i) {
    if(cur == m + 1) {
        // 如果最后这次传回第1个人手上，则满足条件
        if(i == 1) {
            res++;
        }
        return;
    }

    // 由于是圈，第一个人的左手边是最后一个人
    if(i == 1) {
        dfs(cur + 1, n); // 传给左手边的人
        dfs(cur + 1, i + 1); // 传给右手边的人
    } else if(i == n) {
        // 由于是圈，最后一个人的右手边是第一个人
        dfs(cur + 1, i - 1); // 传给左手边的人
        dfs(cur + 1, 1); // 传给右手边的人
    } else{
        dfs(cur + 1, i - 1); // 传给左手边的人
        dfs(cur + 1, i + 1); // 传给右手边的人
    }

}


int main()
{
    cin >> n >> m;

    dfs(1, 1);
    cout << res << endl;

    return 0;
}

二、动态规划

1. dp 方程定义

a[i][j] 表示第 i 次传球传到 j 同学手里的方案数

2. 状态转移方程

当传到 j 同学手中时，传过来的位置有两种情况，一种是从左边即 j - 1，一种是从右边即 j + 1，因此 a[i][j] = a[i - 1][j - 1] + a[i - 1][j + 1]

但需要注意有特殊情况，第一个人左边是最后一个人，最后一个人右边是第一个人，所以特殊情况特殊处理即可。

传到第一个人手中：a[i][j] = a[i - 1][2] + a[i - 1][n]
传到最后一个人手中：a[i][j] = a[i - 1][n - 1] + a[i - 1][1]

代码如下

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main()
{
    int i,j,n,m,a[35][35]={0};
    cin>>n>>m;
    a[0][1]=1;
    for(i=1;i<=m;i++)
    { /**< a[i][j]表示第i次传球传到j同学手里的方案数 */
        for(j=1;j<=n;j++)
        {/**< a[i][j]=a[i-1][j-1]+a[i-1][j+1] */
            if(j==1)
                a[i][j]=a[i-1][2]+a[i-1][n];
            else if(j==n)
                a[i][j]=a[i-1][n-1]+a[i-1][1];
            else
                a[i][j]=a[i-1][j-1]+a[i-1][j+1];
        }
    }
    cout<<a[m][1];
    return 0;
}