文章目录
- 1. ECC椭圆曲线
- 1.1 曲线类型
- 1.2 曲线标准
- 1.3 表示方法
- 1.4 曲线运算
- 1.4.1 点加（Point Addition）
- 1.4.2 点乘（Point Multiplication）
- 1.4.3 倍点（Point Double）
- 2. ECDSA
- 2.1 私钥签名
- 2.2 公钥验签
- 3. ECDH
- 4. SM2
- 4.1 数字签名
- 4.2 秘钥交换
- 4.3 加密
- 4.4 解密
- 5. SM9
- 6. 总结
1. ECC椭圆曲线
ECC（Elliptic Curve Cryptography），就是椭圆曲线密码算法，它是基于椭圆曲线数学理论实现的一种非对称加密算法。相比RSA，ECC优势是可以使用更短的密钥，来实现与RSA相当或更高的安全，RSA加密算法也是一种非对称加密算法，在公开密钥加密和电子商业中RSA被广泛使用。据研究，160位ECC加密安全性相当于1024位RSA加密，210位ECC加密安全性相当于2048位RSA加密（有待考证）。
ECDSA（Elliptic Curve Digital Signature Algorithm）算法是基于 ECC 的的一种签名算法，广泛用于区块链、HTTPS 等需要非对称加密的场景。
1.1 曲线类型
曲线分为素数域曲线、二元域曲线。
- 素数域：P-192、P-224、P-256、P-384、P-521
- 二元域：K-163、K-233、K-283、K-409、K-571、B-163、B-233、B-283、B-409、B-571
1.2 曲线标准
曲线标准主要有：SECG / NIST / WTLS / ANSI X9.62 / RFC 5639 / SM2
-
SECG
（1）SECG（Standards for Efficient Cryptography Group），高效密码学标准组织（SECG），它是一个行业联盟，成立于1998年，旨在开发商业标准，输出SEC标准规范；
（2）SECG成员包括信息安全行业的领先技术公司和关键行业参与者。主要输出SEC的规范；
（3）SECG官网：https://www.secg.org/； -
NIST
（1）NIST（National Institute of Standards and Technology），是美国国家标准技术研究所，前身是美国国家标准局，目前是隶属于商务部的政府实验室。主要从事标准测量方面的研究，职能类似中国计量院或者法国的LNE，为业界提供国家计量标准，计量检测和校准技术，参加标准委员会制定标准等，但本质上还是一个大型的实验室。有两个分部，一个在马里兰州的Gaithersburg，一个在科州的Boulder；
（2）NIST是美国的标准，并不是世界标准；
（3）NIST官网：https://www.nist.gov/ ； -
WTLS
WTLS（Wireless Transport Layer Security），无线传输层安全，它是无线应用协议(WAP)的安全级别，特别是针对使用WAP的应用程序。
官网：https://www.techtarget.com/searchmobilecomputing/definition/Wireless-Transport-Layer-Security -
ANSI X9.62
该项目始于1995年，并于1999年正式作为ANSI标准颁布。ANSI X9.62具有高安全性和通用性。它的基域可以是Fp，也可以是F2m。F2m中的元素可以以多项式形式或正规基形式来表示。若用多项式形式，ANSI X9.62要求模多项式为不可约三项式，标准中提供了一些不可约三项式，另外还给出了一个不可约五项式。为了提高通用性，针对每一个域提供了一个模多项式。若使用正规基表示方法，ANSI X9.62规定使用高斯正规基。椭圆曲线最主要的安全因素是n，即基点阶，ANSI X9.62的n大于2160。椭圆曲线是使用随机方法选取的。ANSI X9.62规定使用以字节为单位的字符串形式来表示曲线上的点，ASN.1语法可以清楚地描述域参数，公钥和签名。 -
RFC5639
ECC曲线标准
官网：https://www.rfc-editor.org/ -
FIPS 186-2
1997年，NIST开始制定包括椭圆曲线和RSA签名算法的FIPS 186标准。1998年，NIST推出了FIPS186，它包括RSA与DSA数字签名方案，这个方案也称为FIPS 186-1。1999年NIST又面向美国G0vment推出了15种椭圆曲线。这些曲线都遵循ANSI X9.62和IEEE 1363-2000的形式。2000年，包含ANSI X9.62中说明的ECDSA，使用上述曲线的FIPS 186-2问世。 -
SM2
SM2是国家密码管理局于2010年12月17日发布的椭圆曲线公钥密码算法。
SM2是基于椭圆曲线的非对称算法，相对于RSA算法，SM2具有密钥更小，运算速度更快，相同密钥长度下具有更高安全性等优势。 -
IEEE 1363-2000
该标准于2000年作为IEEE标准问世。IEEE 1363的覆盖面很广，包括公钥加密，密钥协商，基于IFP、DLP、ECDLP的数字签名。它与ANSI X9.62和FIPS 186完全不同，它没有最低安全性限制（比如不再对基点阶进行限制），用户可以有充分的自由。
| OpenSSL | NIST | SECCG | ANSI |
|---|---|---|---|
| prime192v1 | nistp192 | secp192r1 | prime192v1 |
| secp224r1 | nistp224 | secp224r1 | |
| prime256v1 | nistp256 | secp256r1 | prime256v1 |
| secp384r1 | nistp384 | secp384r1 | |
| secp521r1 | nistp521 | secp521r1 | |
| sect163k1 | nistk163 | sect163k1 | |
| sect163r2 | nistb163 | sect163r2 | |
| sect233k1 | nistk233 | sect233k1 | |
| sect233r1 | nistb233 | sect233r1 | |
| sect283k1 | nistk233 | sect283k1 | |
| sect283r1 | nistb283 | sect283r1 | |
| sect409k1 | nistk409 | sect409k1 | |
| sect409r1 | nistb409 | sect409r1 | |
| sect571k1 | nistk571 | sect571k1 | |
| sect571r1 | nistb571 | sect571r1 |
1.3 表示方法
椭圆曲线其实是一个数学方程，通常用下面的方程式来表示：y2 = (x3 + ax + b) mod p
如果a和b取的值不同，那么对应的曲线形状也会不一样，如下图：
1.4 曲线运算
椭圆曲线的运算有多种，包括：点加（Point Addition）、点乘（Point Multiplication）、倍点（Point Double）等。
1.4.1 点加（Point Addition）
- 两点决定一条直线，也就是说，我们定义通过两个点（P，Q) 做一条直线，找到这条直线和EC曲线相交的那个点（图1中R’点）
- 根据点加法运算的定义，可以得到 P+Q+R’=0 ，那么 P+Q=−R’ ， − R’的定义是关于 x 轴对称所得到的一个点R，如上图所示，这就是点加法的定义
1.4.2 点乘（Point Multiplication）
“点加”是ECC计算中最基本和原始的概念，它描述群当中的两个元素（点）之间的操作，实际运算中大量使用的是“点乘”。但是不要被点乘这个名字所迷惑，其实它描述的是：对同一个点进行多次操作时的规则。
很多常见的写法例如 kG，很容易误导初学者，其实这个kG描述的其实是：针对点G进行“k-1”次点加操作。比如k = 4，如何计算4G呢，既然我们知道如何任意两个点的点加，那么计算4G无非就是：
第1步：计算G+G得到2G
第2步：计算2G+G得到3G
第3步：计算3G+G得到4G，计算完成。
1.4.3 倍点（Point Double）
倍点其实就是点加的特殊运算，当P和Q完全重合时，就变成了倍点运算。如下图：
2. ECDSA
ECDSA，即ECC椭圆曲线签名算法。设私钥、公钥分别为d、Q，即Q = dG，其中G为基点。
2.1 私钥签名
签名过程如下:
- 选择随机数r，计算点rG(x,y)；
- 根据随机数r，消息M的哈希值h、私钥d，计算出 s = (h + dx)/r；
- 将消息M和签名值（rG, s）发给接收方；
举例：假设要签名的消息是一个字符串：“Hello World!”。
- 是对“待签名的消息”生成一个消息摘要，不同的签名算法使用不同的消息摘要算法，而ECDSA256使用SHA256生成256比特的摘要；
- 产生一个随机数k，利用随机数k，计算出两个大数r和s。将r和s拼在一起就构成了对消息摘要的签名；
2.2 公钥验签
- 接收方收到消息M、以及签名{rG=(x,y), s}；
- 根据消息求哈希h；
- 使用发送方公钥Q计算：hG/s + xQ/s，并与rG比较，如相等即验签成功（原理：hG/s + xQ/s = hG/s + x(dG)/s = (h+xd)G/s = r(h+xd)G / (h+dx) = rG））。
3. ECDH
ECDH 是椭圆曲线的笛福赫尔曼算法的变种，它其实不单单是一种加密算法，而是一种密钥协商协议，也就是说 ECDH 定义了（在某种程度上）密钥怎么样在通信双方之间生成和交换，至于使用这些密钥怎么样来进行加密完全取决通信双方。
ECDH的工作流程如下：
（1）Alice 和 Bob 生成各自的私钥和公钥。
Alice的私钥为 dA，公钥为 HA = dAG
Bob的私钥为 dB，公钥为 HB = dBG
Alice 和 Bob 需要使用一样的主要参数：在同一条曲线的同一个有限域上选择一样的基点 G。
（2）Alice和Bob通过不安全信道交换各自的公钥 HA 和 HB，中间人可以窃听到和，但是在无法攻破离散对数难题的情况下无法得到 dA 和 dB。
（3）Alice计算 S = dAHB（使用自身的私钥和Bob的公钥），Bob计算 S = dBHA（使用自身的私钥和Alice的公钥），双方求得的S是一样的，因为 S = dAHB = dA(dBG) = dB(dAG) = dBHA
4. SM2
SM2是国家密码管理局于2010年12月17日发布的椭圆曲线公钥密码算法。
SM2是基于椭圆曲线的非对称算法，相对于RSA算法，SM2具有密钥更小，运算速度更快，相同密钥长度下具有更高安全性等优势。
国密SM2算法标准包括5个部分：
- GMT 0003.1-2012 SM2椭圆曲线公钥密码算法第1部分：总则
主要介绍了ECC基本的算法描述，包括素数域和二元扩域两种算法描述 - GMT 0003.2-2012 SM2椭圆曲线公钥密码算法第2部分：数字签名算法
这个算法不同于ECDSA算法，其计算量大，也比ECDSA复杂些，也许这样会更安全吧 - GMT 0003.3-2012 SM2椭圆曲线公钥密码算法第3部分：密钥交换协议
与ECDH功能相同，但复杂性高，计算量加大 - GMT 0003.4-2012 SM2椭圆曲线公钥密码算法第4部分：公钥加密算法
使用ECC公钥进行加密和ECC私钥进行加密算法，其实现上是在ECDH上分散出流密钥，之后与明文或者是密文进行异或运算，并没有采用第3部分的密钥交换协议产生的密钥。 - GMT 0003.5-2012 SM2椭圆曲线公钥密码算法第5部分：参数定义
给出了SM2使用素数域256位椭圆曲线参数
SM2与RSA的比较如下：
| 算法 | SM2 | RSA |
|---|---|---|
| 算法结构 | 基于椭圆曲线（ECC） | 基于椭圆曲线（ECC） |
| 计算复杂度 | 完全指数级 | 亚指数级 |
| 存储空间 | 192~256bit | 1024~8192bit |
| 秘钥生成速度 | 较RSA算法快百倍以上 | 慢 |
| 解密加密速度 | 较快 | 一般 |
4.1 数字签名
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4.2 秘钥交换
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4.3 加密
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4.4 解密
待添加
5. SM9
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6. 总结
待添加
