牛顿法是一种用来寻找函数零点的迭代方法，它基于以下思路，如果我们知道了一个函数在某个点的切线，那么函数的零点就可以通过切线与x轴的交点来近似计算。
给定一个函数,找到零点
,过程如下:
选择初始点,然后使用这个点处的切线来近似
,也就是说，找到下面这条直线：
这样，我们可以通过将其与x轴相交一获得更接近真实零点的新估计值:
从上式可以看出，如果我们对一次，则可以计算出一个更好的估计值
,然后我们可以不断重复此过程，直到达到我们满意的精度或次数为止。
下面举例说明：
用牛顿法求解一元二次方程，程序比较简单，利用导函数与横轴的交点的横坐标不断迭代即可，程序清单如下：
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
//newton methond to get the root of
//equation of two degree f(x) = x^2-8x+9
//the deritive is f'(x) = 2x - 8;
static void newton_methed(void)
{
// init value of start point.
double x1 = 8.0, x2=0.0, y1, root;
double k; // the gradient of f(x)
while(fabs(x1-x2) > 1e-6) {
x2=x1;
k = 2 * x1 - 8;
y1 = x1*x1 - 8*x1 + 9;
root = (-1 * y1)/k + x1; //according y-y1=k(x-x1)
x1 = root;
printf("root is %f.\n", root);
}
return;
}
int main(void)
{
newton_methed();
return 0;
}图解说明：
下图展示了迭代过程：
根值到了极度接近的阶段，宏观上已经看不出切线和坐标轴的交点，即便放大绘图，也会感受到工具渲染非常的吃力。下图展示了三次迭代后的效果，左边是原函数和坐标轴的交点，邮编是三伦迭代的切线和X轴的交点，可以看到，交点非常的接近了。
如果将迭代初始值甚至为一元二次函数的极点位置，程序将失效，原因是此时极点的切线位置和X轴平行，没有交点，算法无法执行下去。
对于这个例子来说，如果将初始的X1设置为4，算法将会输出非法值。
但是只要打破平衡，稍微偏离极点中心哪怕一点点，算法将给出正确的值，如果向左偏离，则得到左交点，如果向右偏离，将得到右交点，结合图形，很容易理解这些结论。
计算左边根的迭代示意图
一个不算简单的解方程问题，数形结合起来后，直观了很多，看来数学从高的观点往下看，往往会更有收获。
一个新的例子，自然对数求根：
geogebra得到的两个根是+/- 1.41.
程序：
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
//newton methond to get the root of
//equation of two degree f(x) = x^2-8x+9
//the deritive is f'(x) = 2x - 8;
static void newton_methed1(void)
{
// init value of start point.
double x1 = 3.99999999, x2=0.0, y1, root;
double k; // the gradient of f(x)
while(fabs(x1-x2) > 1e-6) {
x2=x1;
k = 2 * x1 - 8;
y1 = x1*x1 - 8*x1 + 9;
root = (-1 * y1)/k + x1; //according y-y1=k(x-x1)
x1 = root;
printf("root is %f.\n", root);
}
return;
}
//newton methond to get the root of
//equation of two degree f(x) = log(x^2-1)
//the deritive is f'(x) = 2x/(x^2-1);
static void newton_methed2(float x1)
{
// init value of start point.
double x2=0.0, y1, root;
double k; // the gradient of f(x)
while(fabs(x1-x2) > 1e-6) {
x2=x1;
k = 2 * x1/(x1*x1 - 1);
y1 = log(x1*x1-1);
root = (-1 * y1)/k + x1; //according y-y1=k(x-x1)
x1 = root;
printf("root is %f.\n", root);
}
return;
}
int main(void)
{
//newton_methed1();
newton_methed2(3.999999999);
newton_methed2(-3.999999999);
return 0;
}程序迭代过程，最终得到了正确的根：
迭代数次后的逼近位置：
总结：
牛顿法的主要优点是，它在每次迭代中都收敛的非常快，在实践中被证明比其他迭代方法更快，但是它也有缺点，就像例子中看到的，当函数具有多个局部零点时，算法的初始值可能导致收敛到错误的根。
解方程是一种近似数学，虽然有的时候能够获得方程的解析式，但大多数的时候（5次及以上的普通方程）是没有解析式的，这个时候只能通过数值解法得到近似解。即便对于有解析式可解方程，通常根也是无理数，没有精确解，所以解方程实际上是一件“差不多”就可以的事，所以计算机能够很好的胜任这份工作。
