堆介绍

堆是一种特殊的树结构。根据根节点的值与子节点值的大小关系，堆又分为最大堆和最小堆。

最大堆：每个节点的值总是大于或者等于其任意子节点的值。所以最大堆中根节点即为最大值。

最小堆：每个节点的值总是小于或者等于其任意子节点的值。所以最小堆中根节点即为最小值。

堆的特点是最大值或最小值位于堆的顶部，只需要O（1）的时间就可以求出一个数据集合中的最大值或最小值，同时在堆中添加或删除元素的时间复杂度都是O（logn）。因此堆通常用来求一个动态的集合中的k个最大值或者最小值。

堆实现

堆通常使用完全二叉树实现，在完全二叉树中，除了最底层之外其他层均为填满，最底层则是从左到右的顺序排列。所以完全二叉树就可以使用数组进行实现，因此堆也可以使用数组进行实现。

将堆的每一层从左到右的节点按照0，1，2的顺序进行排列。编号0放到数组0的位置，编号1放到数组1的位置，就可以将堆放到数组中去。比如上述最大堆和最小堆，可以使用下方的数据结构进行表示：

用数组表示堆**，如果一个元素在数组中的下表是i，则其在堆中的父节点在数组中的坐标为(i-1)/2，而它的左右子节点在数组中的下标分别为2i+1和2i+2**。

堆的增删

此处使用最大堆进行解释，最小堆和最大堆理论都一样的

最大堆添加节点

1. 从上到下，从左右到找到第一个空缺的位置，将新的节点添加到空缺的位置上。
2. 对比新节点的值和父节点的值，如果新节点的值比父节点的值大，则交换新节点和父节点的值。
3. 重复步骤2，直到新节点的值大于或者等于父节点的值或者已经到达根节点。

如下，在之前最大堆上添加新元素95，图解过程如下：

最大堆删除节点

通常只删除堆顶部节点，删除步骤如下：

1. 删除最大堆顶部节点
2. 将堆最底部最右边的节点移到堆的顶部
3. 如果存在左右子节点的值大于顶部节点的值，则它和左右子节点值中的最大值进行交换
4. 重复上述步骤，直到该节点的值大于或等于其左右子节点的值，或者抵达最后一层。

如下，删除最大堆元素95，图解过程如下：

时间复杂度

基于上述的描述，从堆里面获取最大值或者最小值的时间复杂度为O(1)。

对堆进行增减或者删除的时间复杂度为树高O(logn)。

堆的应用

java使用PriorityQueue实现了堆数据结构。PriorityQueue默认的情况下是一个最小堆，如果要使用最大堆则需要自己传入Comparator。

PriorityQueue实现了Queue接口，其常用的函数如下所示：

操作	抛异常	不抛异常
插入新的元素	add(e)	offer(e)
删除堆顶元素	remove	poll
返回堆顶元素	element	peek

通常使用堆求取一个动态数据集合中最大或者最小的k个元素。通常，使用最小堆求取集合中k个最大的元素，使用最大堆求取集合中k个最小的元素。

题目：设计一个数据结构，它每次从一个数据流中读取一个数字，并得出数据流已经读出的数字中第k（k>1）大的数字。该数据结构有一个构造器，构造器接受一个参数k（整数），另外接收一个数组（假设数组长度大于k）。还有一个函数add用来动态的添加数字，并返回此时读取中的第k大的值。

列如：当k=2，nums数组为[4,3,5,6]，调用构造函数初始化之后，第一次调用add传入7此时应返回6，再次调用add传入8此时应该返回7。

分析：数据流相关的特点是输入的数据是动态添加且无限的。所以我们需要一个数据结构每次只保存之前k大的几个值，每次add的时候，只需要判断保存的值里面的最小值是否小于add的值，如果小于则替换即可。所以这里可以使用最小堆。

代码参考：

kotlin 版本

class HeapTest(val k: Int, num: Array<Int>) {
    private val minHeap = PriorityQueue<Int>()

    init {
        for (i in num) {
            add(i)
        }
    }
    
    fun add(e: Int): Int {
        if (minHeap.size < k) {
            minHeap.offer(e)
        } else if (minHeap.peek() < e) {
            minHeap.poll()
            minHeap.offer(e)
        }
        return minHeap.peek()
    }
}

测试

    val heapTest = HeapTest(3, arrayOf(4, 5, 8, 2))
    println(heapTest.add(3))
    println(heapTest.add(5))
    //结果
    第一次调用 传入3  返回4
    第二次调用 传入5  返回5

java 版本

public class HeapTestJava {
    private final PriorityQueue<Integer> minHeap = new PriorityQueue<>();
    private final int k;

    public HeapTestJava(int k, int[] num) {
        this.k = k;
        for (int i : num) {
            add(i);
        }
    }

    public int add(int v) {
        if (minHeap.size() < k) {
            minHeap.offer(v);
        } else if (v > minHeap.peek()) {
            minHeap.poll();
            minHeap.offer(v);
        }
        return minHeap.peek();
    }
}

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