1.大顶堆和小顶堆原理
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什么是堆
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堆（Heap）是计算机科学中一类特殊的数据结构，通常是一个可以被看作一颗完全二叉树的数组对象。
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完全二叉树
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只有最下面两层节点的度可以小于2，并且最下层的叶节点集中在靠左连续的边界
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只允许最后一层有空缺结点且空缺在右边，完全二叉树需保证最后一个节点之前的节点都齐全；
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对任一结点，如果其右子树的深度为j，则其左子树的深度必为j或j+1
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- 什么是大顶堆（最大堆）
- 大顶堆是一种完全二叉树，其每个父节点的值都大于或等于其子节点的值，即根节点的值最大。
- 每个节点的两个子节点顺序没做要求，和之前的二叉查找树不一样。
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什么是小顶堆（最小堆）
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小顶堆是一种完全二叉树，其每个父节点的值都小于或等于其子节点的值，即根节点的值最小。
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每个节点的两个子节点顺序没做要求，和之前的二叉查找树不一样
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存储原理
- 一般升序采用大顶堆，降序采用小顶堆。
- 堆是一种非线性结构，用数组来存储完全二叉树是非常节省空间的，把堆看作一个数组。
- 方便操作，一般数组的下标0不存储，直接从1节点存储。
- 堆其实就是利用完全二叉树的结构来维护一个数组
- 数据下表为k的节点
- 左子节点下标为2*k的节点。
- 右子节点就是下表为2*k+1的节点。
- 父节点就是下标为k/2取证的节点。
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公式描述一下堆的定义
- 大顶堆：arr[k] >= arr[2k+1] && arr[k] >= arr[2k]
- 小顶堆：arr[k] <= arr[2k+1] && arr[k] <=arr[ak]
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小顶堆动画效果演示
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往堆中插入新元素，就是往数组中从索引0或1开始依次存放数据，但是顺序需要满足堆的特性
- 如何让堆满足：
- 不断比较新节点 arr[k]和对应父节点arr[k/2]的大小，根据情况交互元素位置
- 直到找到的父节点比当前新增节点大则结束
2.大顶堆构编码实现
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大顶堆（最大堆）
- 大顶堆是一种完全二叉树，其每个父节点的值都大于或等于其子节点的值，即根节点的值最大
- 编码实现
public class Heap {
//用数组存储堆中的元素
private int[] items;
//堆中元素的个数
private int num;
public Heap(int capacity) {
//数组下标0不存储数据，所以容量+1
this.items = new int[capacity + 1];
this.num = 0;
}
/**
* 判断堆中 items[left] 元素是否小于 items[right] 的元素
*/
private boolean rightBig(int left, int right) {
return items[left] < items[right];
}
/**
* 交换堆中的两个元素位置
*/
private void swap(int i, int j) {
int temp = items[i];
items[i] = items[j];
items[j] = temp;
}
/**
* 往堆中插入一个元素，默认是最后面，++num先执行，然后进行上浮判断操作
*/
public void insert(int value) {
items[++num] = value;
up(num);
}
/**
* 使用上浮操作，新增元素后，重新堆化
* 不断比较新节点 arr[k]和对应父节点arr[k/2]的大小，根据情况交互元素位置
* 直到找到的父节点比当前新增节点大则结束
* <p>
* 数组中下标为 k 的节点
* 左子节点下标为 2*k 的节点
* 右子节点就是下标 为 2*k+1 的节点
* 父节点就是下标为 k/2 取整的节点
*/
private void up(int k) {
//父节点 在数组的下标是1，下标大于1都要比较
while (k > 1) {
//比较 父结点 和 当前结点 大小
if (rightBig(k / 2, k)) {
//当前节点大，则和父节点交互位置
swap(k / 2, k);
}
// 往上一层比较，当前节点变为父节点
k = k / 2;
}
}
/**
* 删除堆中最大的元素,返回这个最大元素
*/
public int delMax() {
int max = items[1];
//交换索引 堆顶的元素（数组索引1的）和 最大索引处的元素，放到完全二叉树中最右侧的元素，方便后续变为临时根结点
// 为啥不能直接删除顶部元素，因为删除后会断裂，成为森林，所以需要先交互，再删除
swap(1, num);
//最大索引处的元素删除掉, num--是后执行，元素个数需要减少1
items[num--] = 0;
//通过下浮调整堆，重新堆化
down(1);
return max;
}
/**
* 使用下沉操作，堆顶和最后一个元素交换后，重新堆化
* 不断比较 节点 arr[k]和对应 左节点arr[2*k] 和 右节点arr[2*k+1]的大小，如果当前结点小，则需要交换位置
* 直到找到 最后一个索引节点比较完成 则结束
* 数组中下标为 k 的节点
* 左子节点下标为 2*k 的节点
* 右子节点就是下标 为 2*k+1 的节点
* 父节点就是下标为 k/2 取整的节点
*/
private void down(int k) {
//最后一个节点下标是num
while (2 * k <= num) {
//记录当前结点的左右子结点中，较大的结点
int maxIndex;
if (2 * k + 1 <= num) { //2 * k + 1 <= num 是判断 确保有右节点
//比较当前结点下的左右子节点哪个大
if (rightBig(2 * k, 2 * k + 1)) {
maxIndex = 2 * k + 1;
} else {
maxIndex = 2 * k;
}
} else {
maxIndex = 2 * k;
}
//比较当前结点 和 较大结点的值, 如果当前节点较大则结束
if (items[k] > items[maxIndex]) {
break;
} else {
//否则往下一层比较，当前节点k索引 变换为 子节点中较大的值
swap(k, maxIndex);
//变换k的值
k = maxIndex;
}
}
}
public static void main(String[] args) {
Heap heap = new Heap(20);
heap.insert(42);
heap.insert(48);
heap.insert(93);
heap.insert(21);
heap.insert(90);
heap.insert(9);
heap.insert(3);
heap.insert(40);
heap.insert(32);
int top;
System.out.println("输出堆：");
while ((top = heap.delMax()) != 0) {
System.out.print(top + " ");
}
}
}
