1.6.1 事件的独立性

1.两个事件的独立性

中任意两个事件都相互独立、則称 A,.A.，,A.两两独立，

显然•若，个事件相互独立,則一定两两独立,反之,不一定成立

【例 1.251 将一个均匀的正四面体的第一面染上红、黄、蓝三色，将其他三百多

别染上红色、黄色、蓝色，设A.B.C 分别表示排一次四面体红色、黄色、藍色与桌

接触的事件,则昱然

1

P(A) = P(B) = P(C) =7•

P(AB) =P(A)P (B)

1

P(AC) =P (A)P(C)

=

1

P(BC) =P(B)P(C)

P(ABC) =

六大PAP(BPC)=

1

8

这表明事件 A,B,C 两两独立，但是 A,B,C 不相互独立

【例 1.26】 设一口袋中有100 个球，其中有7个是红的,25个是黄的,24 个是費

蓝两色的，1个是红黄蓝三色的，其余43 个是无色的.现从中任取一个球，以 A,B.C

分别表示取得的球有红色的、有黄色的、有蓝色的事件。

2

昱然,PCA):

25 •P(B) =.

1

1

-. P (AB) =

Ion + P (BC) =

1

. P (AC) =

4

1

100 • P (ABC) -

100•故P(ABC)=PA)P(B)P（C).但显然又有

P(AB) ‡ P(A)P (B),

P(AC) ‡ P(A)P(C),

P (BC) ‡ P(B)P(C),

即A,B,C 不相互独立。

此例表明，即使P(ABC)=P(A)P(B)P（C),也不能保证 A,B,C 两两独立。

更不能保证三个事件相互独立．

由独立性的定义,可以得到以下两点推论：

1）若 A.,Az,•,A.(n二2)相互独立，则其中任意k(2<k＜现个事件也相互

独立；

(2）若A.,Az,•,A.(n二2)相互独立,将其中任意多个换成它们各自的对立事

件，所得的n 个事件仍然相互独立

在实斥应用中,事件的独立性常常根据事件的实际意义去判断.一般情况下,若

各事件之间没有关联或关联很弱，就可以认为它们是相互独立的.如果根据实际意叉

判断一组事件是相互独立的，则关于它们的积事件的概率计算就很简单。

【例 1.272 设某地区某时间每人的血清中含有某种病毒的概率为 0.4%,混合

100个人的血清，求血清中含有该病毒的概率.

解设A,一“第之人的血清中含有某种病毒”,i=1，2，…，100,可以认为诸A

是相互独立的,从而诸 A，也是相互独立的，且 P(A=1一0.004=0.996，则要求的

概率为

A世AN-I-P A- - 发 )

=1= ITPC4.=1-0.996100~ 0.33.

¡=1

例 1.28】 从1至9这9个数宇中，有放回地取 3个数字，每次任取1个,求所

取的3个数之积能被 10 整除的概率，

彭奥相

解1设A一“所取的 3个数之积能被 10整除”，A，=“所取的3个数申含有数

宇5”,A2一〞所取的了个数中含有偶数”，则A=AiAz，所以天

P(A) = P (A, A2) =1 - P (A, A2) =1 - P(A, U A2)

=1 - P(A,)

- P(À2) + P(A, A2)

共大

3

+(

=1=0.786=0.214.

解2设A.表示“第k 次取得数宇 5”，B、表示“第k次取得偶数”，k=1,2,3，

则A=CA,UA2 UA) (B:UB, UB,),由事件的对偶律得

A

=(A, U A, U A,) (B, UBUB,)

= (A, U A U A,) U (B, U B UBs)

£鱼

= (A, A A.) U (B, B Ba),

所以PCA)=P(4,4,4.3+P（B;B,B,)-p（A,A.4.B;B.B.）.由于是有放回地

取数，所以各次抽取结果相互独立,并且

P(A,) = P(A2) = P(Ap)

8

9

15

P (B,) =P (Ba) =P (B,) =

4

P(A,B.) = P(A B2) = P(A Ba) =

因此

P(A) =1-P(D) =1-/

¢⑤

-())

1.6.2 试验的独立性

定义1.9 如果第一次试验的任一结果，第二次试验的任一结果，

•,第n次

试验的任一结果都是相互独立的事件，则称这，次试验相互独立．如果这九次独立

试验还是相同的，则称为 八 重独立重复试验．如果在n 重独立重复试验中，每次试验

的可能结果为两个：A 或A,则称这种试验为 1 重伯努利试验

例如，掷，枚硬币，从一大批产品中随机抽查八个产品等，都是几 重独立重复

试验

在， 重伯努利试验中，若事件 A 在每次试验中发生的概率均为PCA)=力(0<力

＜1,现在来计算在n 重伯努利试验中事件A 发生k次的概率p，k=1,2,…,九。

由于试验是相互独立的，如果事件 A 在n次独立试验中指定的k 次试验(比如，

前人次试验)中发生,而在其余八一k次试验中不发生，其概率为

PCA,Az…A:Axti… A.)=PCA,DP(AD .P(A PCAx).P(A,

=力（1一加n-k

其中 4 表示“A 在第之次试验中发生”，i一1，2，

但问题是 A 在几次独立试验中发生了k次,不论在哪k次发生，由组合知识,A

在n次试验中发生人次共有C种不同的情况，而每种情况的概率都是

力（1一力）2-<，并且这些情况是互不相容的-故所求概率为

力及

=C(1一力)”

k=1,2，

【例 1.29】 八门火炮同时独立地向一目标各射击一发炮弹，共有不少于2发炮

弹命中目标时，目标就被击毀，如果每门炮命中目标的概率为 0.6,求击毁目标的

概率

解设A=”

‘—门火炮命中目标”，则PCA)=0.6.本题可看成力=0.6,几一8的n

重伯努利试验，所求概率是事件A 在8次独立试验中至少出现两次的概率，即Qi

Sp-1

- Sp:

=1一

»'Ci (0.6)* (0.4) -* -0.9915.