文章目录
- 第八章 树
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 8
- 10
- 第九章
- 4
- 6
- 8
- 11
- 第十章
- 2
- 4
- 5
- 6
- 7
- 第十一章
- 1
- 4
- 5
- 7
- 11
- 16
- 第十二章
- 1
- 3
- 13
- 17
第八章 树
2
(2)
设有k片树叶
2 ∗ m = 2 ∗ 4 + 3 ∗ 3 + k 2*m=2*4+3*3+k 2∗m=2∗4+3∗3+k
n = 2 + 3 + k n=2+3+k n=2+3+k
m = n − 1 m=n-1 m=n−1
联立解得k=9
T中有9片树叶
3
有三颗非同构的生成树
4
(1)
c --abc
e–abed
f–dgf
h–abhgd
(2)
T的树枝a,b,d,g,对应的基本割集系统为{a,c,e,h},{b,c,e,h},{d,e,h,f},{g,f,h}
5
6
(1)
( ( a + b ∗ c ) ∗ d − e ) / ( f + g ) + h ∗ i ∗ j ((a+b*c)*d-e)/(f+g)+h*i*j ((a+b∗c)∗d−e)/(f+g)+h∗i∗j
(2)
+ / − ∗ + a ∗ b c d e + f g ∗ ∗ h i j +/-*+a*bcde+fg**hij +/−∗+a∗bcde+fg∗∗hij
(3)
a b c ∗ + d ∗ e − f g + / h i ∗ j ∗ + abc*+d*e-fg+/hi*j*+ abc∗+d∗e−fg+/hi∗j∗+
8
简单图:不含环和平行边
不一定是树。未保证连通
10
在树中,仅有分支点和树叶点
故
i + t = n i+t=n i+t=n
又因边数m为 i ∗ r i*r i∗r
m=n-1
i + t = i ∗ r + 1 ↔ t = i ∗ ( r − 1 ) + 1 i+t=i*r+1 \leftrightarrow t=i*(r-1)+1 i+t=i∗r+1↔t=i∗(r−1)+1
第九章
4
(3)偶数个顶点,奇数条边
(4)奇数个顶点,偶数条边
6
(2)是欧拉图,而不是哈密顿图
(3)是哈密顿图,而不是欧拉图
8
11
A-D-C-B-A
第十章
2
deg(R1)=5
deg(R2)=3
deg(R0)=12
4
通过画图可知,无论怎样,两图都会有相交的边,故为非平面图
5
6
(1)点色数 χ \chi χ
将原图标号,可得,1234为4阶圈,偶数阶,点色数为2。5与1,3不可同色,又1,3不同色,故色数+1。同理可知6,7。5,6,7不相邻,故可使用同一颜色着色。得出结论点色数 χ \chi χ为3
(2)面色数 χ ′ \chi' χ′
2与1,3相邻,与4不相邻,1,3不相邻。故1234的面色数为2。5与2相邻,与1,3不相邻。故可用于1,3同色的着色。6同理。故面色数为 χ ′ \chi' χ′为2
7
实际为着色问题。要求有同时选修的课程,考试时间不同,也就是着色颜色不同。
1 2 3 5为4阶圈,偶数阶,点色数为2。4与1,3相邻,4与1,3颜色不同。1,3相邻,颜色不同。故点色数为3。至少需要3个
第十一章
1
(1) A 5 3 = 5 × 4 × 3 = 60 A_5^3=5\times4\times3=60 A53=5×4×3=60 种
(2) 5 3 = 125 5^3=125 53=125 种
4
(1)
A 10 10 A 4 4 × A 3 3 × A 3 3 = 10 ! 4 ! × 3 ! × 3 ! = 4200 {A_{10}^{10}\over{A_4^4\times A_3^3\times A_3^3}}={10!\over{4!\times3!\times3!}}=4200 A44×A33×A33A1010=4!×3!×3!10!=4200 种
(2)
A 7 7 A 3 3 × A 3 3 = 140 {A_7^7\over{A_3^3\times A_3^3}}=140 A33×A33A77=140 种
5
(1)
要求a之间不相邻,则将a之间的4个空 有顺序的插入{b c d e}即可。
A 4 4 = 24 A_4^4=24 A44=24 种
(2)
先将bcde排序,再往其中插入a。要求互不相邻,则内部的3个空一定得有a。多出的一个a插在bcde内部+外部共5个空其中一个即可
A 4 4 × C 5 1 = 120 A_4^4\times C_5^1=120 A44×C51=120 种
7
盒子中容纳球可能的情况有:
(1)
2 2 0
$ {C_4^2\times C_2^2\times C_0^0\over A_2^2\times A_2^2 }\times A_3^3=9$ 种
(2)
2 1 1
$ {C_4^2\times C_2^1\times C_1^1\over {A_2^2}}\times A_3^3 =36$ 种
11
用全部情况减去5,6相邻
A 9 7 − A 8 7 A 2 2 = 161280 A_9^7-{A_8^7\over A_2^2}=161280 A97−A22A87=161280 种
16
(1)不同的二元关系:
3元集的运算表共有9个位置,每个位置有3个值可选。故有 3 9 = 19683 3^9=19683 39=19683 个不同的二元关系
(2)自反的关系
自反的关系,对角线的三个位置为 < x , x > = x <x,x>=x <x,x>=x 固定。其余6个位置,每个位置有3个值可选。故有 3 6 = 729 3^6=729 36=729 个自反的二元关系
(3)对称的关系
转为三角矩阵,只需确定对角线+右上角即可。故有 3 6 = 729 3^6=729 36=729 个对称的二元关系
(4)自反且对称的关系
转为三角矩阵,对角线的三个位置为 < x , x > = x <x,x>=x <x,x>=x 固定,只需确定右上角即可。故有 3 3 = 27 3^3=27 33=27 个自反且对称的二元关系
(5)反对称的关系
3 9 − 3 6 = 18954 3^9-3^6=18954 39−36=18954 个反对称的二元关系
第十二章
1
(1)
该递推方程的特征方程是 x 2 − 2 x − 2 = 0 x^2-2x-2=0 x2−2x−2=0 ,特征根是
x 1 = 1 − 3 , x 2 = 1 + 3 x_1=1-\sqrt3,x_2=1+\sqrt3 x1=1−3,x2=1+3
通解为 c 1 ( 1 − 3 ) n + c 2 ( 1 + 3 ) n c_1(1-\sqrt3)^n+c_2(1+\sqrt3)^n c1(1−3)n+c2(1+3)n
带入初值
a
0
=
1
,
a
1
=
3
a_0=1,a_1=3
a0=1,a1=3
c
1
+
c
2
=
1
c
1
(
1
−
3
)
+
c
2
(
1
+
3
)
=
3
解得
c
1
=
−
3
3
,
c
2
=
3
3
c_1+c_2=1\\ c_1(1-\sqrt3)+c_2(1+\sqrt3)=3\\ 解得c_1=-{\sqrt3\over 3},c_2={\sqrt3\over 3}
c1+c2=1c1(1−3)+c2(1+3)=3解得c1=−33,c2=33
(3)
该方程的常系数线性齐次递推方程的特征方程是 x 2 − 3 x + 2 = 0 x^2-3x+2=0 x2−3x+2=0 ,特征根是
x 1 = 1 , x 2 = 2 x_1=1,x_2=2 x1=1,x2=2
齐次方程通解为 c 1 1 n + c 2 2 n c_11^n+c_22^n c11n+c22n
设特解形式为
H
∗
(
n
)
=
q
1
n
H*(n)=q_1n
H∗(n)=q1n ,其中
q
1
q_1
q1 为待定系数,带入原式
q
1
n
−
3
q
1
(
n
−
1
)
+
2
q
1
(
n
−
2
)
=
1
3
q
1
−
4
q
1
=
1
解得
q
1
=
−
1
q_1n-3q_1(n-1)+2q_1(n-2)=1\\ 3q_1-4q_1=1\\ 解得q_1=-1
q1n−3q1(n−1)+2q1(n−2)=13q1−4q1=1解得q1=−1
因此通解为
a
n
=
c
1
+
c
2
2
n
−
n
a_n=c_1+c_22^n-n
an=c1+c22n−n
带入初值得 a n = 3 × 2 n − n + 1 a_n=3\times2^n-n+1 an=3×2n−n+1
3
a n = 7 a n − 1 + 8 n − 1 − a n − 1 a_n=7a_{n-1}+8^{n-1}-a_{n-1} an=7an−1+8n−1−an−1, a 1 = 7 a_1=7 a1=7
齐次特征方程为
x 2 − 6 x = 0 x^2-6x=0 x2−6x=0
特征根为0或6,0舍去
齐次通解为 a n = c 1 × 6 n a_n=c_1\times6^n an=c1×6n
设特解形式为
H ∗ ( n ) = q 1 8 n H*(n)=q_18^n H∗(n)=q18n ,其中 q 1 q_1 q1 为待定系数,带入原式
q 1 8 n = 6 × 8 n − 1 + 8 n − 1 q_18^n=6\times8^{n-1}+8^{n-1} q18n=6×8n−1+8n−1, q 1 = 7 8 q_1={7\over 8} q1=87
因此通解为 a n = c 1 6 n + 7 8 n − 1 a_n=c_16^n+78^{n-1} an=c16n+78n−1
带入初值,通解为 a n = 6 n + 8 n 2 a_n={6^n+8^n\over 2} an=26n+8n
13
原题可理解为x1+x2+x3+x4=6且xi不超过3的非负整数解的个数。
G(y) = (1+y+y 2 ^2 2+y 3 ^3 3) 4 ^4 4 = (1+2y+3y 2 ^2 2+4y 3 ^3 3+3y 4 ^4 4+2y 5 ^5 5+y 6 ^6 6) 2 ^2 2 = 1+…+44y 6 ^6 6+…
N = 44.
17
指数生成函数为
Ge(x) = (1+x+ x 2 2 ! {x^2} \over {2!} 2!x2+ x 3 3 ! {x^3} \over {3!} 3!x3)(1+x+ x 2 2 ! {x^2} \over {2!} 2!x2)(1+x+ x 2 2 ! {x^2} \over {2!} 2!x2+ x 3 3 ! {x^3} \over {3!} 3!x3+ x 4 4 ! {x^4} \over {4!} 4!x4+ x 5 5 ! {x^5} \over {5!} 5!x5)
化简得 x 4 x^4 x4 的系数是71* x 4 4 ! {x^4} \over {4!} 4!x4 ,因此a4 = 71.
若为偶数,末位为2,对应的指数生成函数为
Ge(x) = (1+x+ x 2 2 ! {x^2} \over {2!} 2!x2+ x 3 3 ! {x^3} \over {3!} 3!x3)(1+x)(1+x+ x 2 2 ! {x^2} \over {2!} 2!x2+ x 3 3 ! {x^3} \over {3!} 3!x3+ x 4 4 ! {x^4} \over {4!} 4!x4+ x 5 5 ! {x^5} \over {5!} 5!x5)
化简得 x 3 x^3 x3的系数是20* x 3 3 ! {x^3} \over {3!} 3!x3 , 因此a3 = 20.