【算法笔记】递归与回溯

news2024/11/25 13:15:05

递归与回溯

To Iterate is Human, to Recurse, Divine.
—L. Peter Deutsch

人理解迭代,神理解递归。
—L. Peter Deutsch

1.什么是递归呢

递归形象描述:

你打开面前这扇门,看到屋里面还有一扇门。
你走过去,发现手中的钥匙还可以打开它,你推开门,发现里面还有一扇门,你继续打开它。
若干次之后,你打开面前的门后,发现只有一间屋子,没有门了。
然后,你开始原路返回,每走回一间屋子,你数一次,走到入口的时候,
你可以回答出你到底用这你把钥匙打开了几扇门。

2.递归算法(Recursion)

  • 定义:直接或间接地出现对自身的调用。
  • 本质:递归即递进与回归,基本思想就是把规模大的问题转化为规模小的相似的子问题来解决。但必须有一个明确的结束条件(递归出口)
    在这里插入图片描述

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//斐波那契
int  f(int n)
{
	if(n==1)
		return 1;
	else  if(n==2)
		return 1;
	else
		return   f(n-1)+f(n-2);
}

利用递归完成的题目特点:

  1. 可以将当前问题转换成规模更小的问题,且新问题和原问题解法完全相同
  2. 有一个明确的递归边界

3.递归案例

**用递归方法求:**1+2+3+……+n=

递归关系:

f(n)=f(n-1)+n; 递归关系
f(1)=1; 递归出口

用递归方法求:n!

递归关系:

f(n)=f(n-1)*n; 递归关系
f(1)=1; 递归出口

4.例题

王小二切饼

题目描述:

王小二自夸刀工不错,有人放一张大的煎饼在砧板上,问他:“饼不许离开砧板,切n(1<=n<=100)刀最多能分成几块?

输入格式:

输入切的刀数n

输出格式:

输出切n刀最多切的块数

输入样例:

3

输出样例:

7

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解题思路

在这里插入图片描述

杨辉三角

在这里插入图片描述

AC代码:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int f(int x,int y)
{
	printf("调用f(%d,%d)\n",x,y);
	if(x==y || y==1)return 1;
	return f(x-1,y-1)+f(x-1,y);
} 
int main()
{
	int m,n;
	cin>>m>>n;
	cout<<f(m,n);
	return 0;
}

5.程序分析

在这里插入图片描述

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6.【背】核心代码(模板)

递归模板:
void recursion(大规模){
    if(end_condition){  //递归出口
        ……
        return;
    }
    else{
      recursion(小规模); //递进,将大规模转换为小规模
      solve; //回归
    }
}

7.总结

  1. 递归就是函数自己调用自己
  2. 在递归过程中,必须有一个明确的递归结束条件,即递归出口
  3. 每一次的函数调用都有自己的变量。
  4. 每一次函数调用都会有一次返回。
  5. 递归函数中,位于递归调用前的语句和各级被调用函数具有相同的执行顺序。
  6. 递归函数中,位于递归调用后的语句和各个被调用函数的顺序相反。

优缺点:
**优点:**实现简单,可读性好;
**缺点:**递归调用,占用空间大;递归太深,易发生栈溢出;可能会出现重复计算的问题(重叠子问题)

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