递归与回溯
To Iterate is Human, to Recurse, Divine.
—L. Peter Deutsch
人理解迭代,神理解递归。
—L. Peter Deutsch
1.什么是递归呢
递归形象描述:
你打开面前这扇门,看到屋里面还有一扇门。
你走过去,发现手中的钥匙还可以打开它,你推开门,发现里面还有一扇门,你继续打开它。
若干次之后,你打开面前的门后,发现只有一间屋子,没有门了。
然后,你开始原路返回,每走回一间屋子,你数一次,走到入口的时候,
你可以回答出你到底用这你把钥匙打开了几扇门。
2.递归算法(Recursion)
- 定义:直接或间接地出现对自身的调用。
- 本质:递归即递进与回归,基本思想就是把规模大的问题转化为规模小的相似的子问题来解决。但必须有一个明确的结束条件(递归出口)
//斐波那契
int f(int n)
{
if(n==1)
return 1;
else if(n==2)
return 1;
else
return f(n-1)+f(n-2);
}
利用递归完成的题目特点:
- 可以将当前问题转换成规模更小的问题,且新问题和原问题解法完全相同
- 有一个明确的递归边界
3.递归案例
**用递归方法求:**1+2+3+……+n=
递归关系:
f(n)=f(n-1)+n; 递归关系
f(1)=1; 递归出口
用递归方法求:n!
递归关系:
f(n)=f(n-1)*n; 递归关系
f(1)=1; 递归出口
4.例题
王小二切饼
题目描述:
王小二自夸刀工不错,有人放一张大的煎饼在砧板上,问他:“饼不许离开砧板,切n(1<=n<=100)刀最多能分成几块?
输入格式:
输入切的刀数n
输出格式:
输出切n刀最多切的块数
输入样例:
3
输出样例:
7
解题思路
杨辉三角
AC代码:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int f(int x,int y)
{
printf("调用f(%d,%d)\n",x,y);
if(x==y || y==1)return 1;
return f(x-1,y-1)+f(x-1,y);
}
int main()
{
int m,n;
cin>>m>>n;
cout<<f(m,n);
return 0;
}
5.程序分析
6.【背】核心代码(模板)
递归模板:
void recursion(大规模){
if(end_condition){ //递归出口
……
return;
}
else{
recursion(小规模); //递进,将大规模转换为小规模
solve; //回归
}
}
7.总结
- 递归就是函数自己调用自己
- 在递归过程中,必须有一个明确的递归结束条件,即递归出口
- 每一次的函数调用都有自己的变量。
- 每一次函数调用都会有一次返回。
- 递归函数中,位于递归调用前的语句和各级被调用函数具有相同的执行顺序。
- 递归函数中,位于递归调用后的语句和各个被调用函数的顺序相反。
优缺点:
**优点:**实现简单,可读性好;
**缺点:**递归调用,占用空间大;递归太深,易发生栈溢出;可能会出现重复计算的问题(重叠子问题)