Java - 数据结构，二叉树

news2025/1/10 21:01:40

一、什么是树

概念
树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：
在这里插入图片描述

1、有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点除根结点外，其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、…、Tm，其中每一个集合 Ti (1 <= i<= m) 又是一棵与树类似的子树。
2、每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
3、树是递归定义的。
在这里插入图片描述

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构
在这里插入图片描述

1.1、 概念（重要）

1、结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度； 如图：A的度为6

在这里插入图片描述

2、树的度：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度； 如图：树的度为6

在这里插入图片描述

3、叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点； 如图：B、C、H、I…等节点为叶结点

在这里插入图片描述

4、双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点； 如图：A是B的父结点，A是C的父结点，A是D的父结点…

在这里插入图片描述

5、孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点； 如图：B是A的孩子结点，C是A的孩子结点，D是A的孩子结点

在这里插入图片描述

6、根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如图：A

在这里插入图片描述

7、结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推

在这里插入图片描述

8、树的高度：树中结点的最大层次； 如图A：树的高度为4，
树的深度：A的深度是1，E的深度是2，J的深度是3，Q的深度是4

在这里插入图片描述

9、非终端结点或分支结点：度不为0的结点； 如图：D、E、F、G…等节点为分支结点

在这里插入图片描述

10、兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点； 如图：B、C是兄弟结点

在这里插入图片描述

11、堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如图：H、I互为兄弟结点

在这里插入图片描述

12、结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如图：A是所有结点的祖先

在这里插入图片描述

13、子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙

在这里插入图片描述

14、森林：由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林

1.2、树的表示形式

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

class Node {
	int value; // 树中存储的数据
	Node firstChild; // 第一个孩子引用
	Node nextBrother; // 下一个兄弟引用
}

孩子兄弟表示法在这里插入图片描述
孩子双亲表示法

在这里插入图片描述

1.3、树的应用

文件系统管理（目录和文件）
在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

二、二叉树

2.1、概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：

  1. 或者为空
  2. 或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成
    在这里插入图片描述
    二叉树 跟我们前面讲的树的区别就在于：二叉树 的 每个结点，最多只能有 两个 “孩子”/子树，最少 零个。
    也就是说：一棵树，如果是二叉树，那么它的每棵子树都是 二叉树【都有左子树 和 右子树】。

注意：
1. 二叉树不存在度大于2的结点
2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树
3. 对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：
在这里插入图片描述

2.2、两种特殊的二叉树

2.2.1、 满二叉树

满二叉树: 一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一棵二叉树的层数为K，且结点总数是 ，则它就是满二叉树
在这里插入图片描述

2.2.2、完全二叉树

完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树
在这里插入图片描述

2.3、二叉树的性质

  1. 若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第k层上最多有 2的k-1次方 (k>0) 个结点 在这里插入图片描述
  1. 若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是 2的k次方-1 (k>=0) 在这里插入图片描述
  1. 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有 n0＝n2＋1 在这里插入图片描述
    得出一个结论：任何一棵二叉树，叶子结点比度为2的节点多一个

4. 具有n个结点的完全二叉树的深度k为 上取整
在这里插入图片描述

  1. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
    （1）若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点
    （2）若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子
    （3）若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子
    在这里插入图片描述

二叉树的练习题

  1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（ ）
    A 不存在这样的二叉树
    B 200
    C 198
    D 199

  2. 在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（ ）
    A n
    B n+1
    C n-1
    D n/2

  3. 一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（）
    A 383
    B 384
    C 385
    D 386

  4. 一棵完全二叉树的节点数为531个，那么这棵树的高度为（ ）
    A 11
    B 10
    C 8
    D 12

答案：
1.B 2.A 3.B 4.B

在这里插入图片描述

2.4、二叉树的存储

二叉树的存储结构分为：顺序存储 和 类似于链表的链式存储。
这里，我们讲链式存储。
二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的。常见的表示方式有二叉 和 三叉表示方式。
【二叉 ： 孩子表示法；三叉 ：孩子双亲表示法】
在这里插入图片描述

2.4.1、模拟创建二叉树

提前说明：二叉树的构建是一个非常复杂的过程，因为目前作者对二叉树的理解，还不是很深。所以，我们先会创建一个二叉树，但是这种创建方式，很LOW，只是为了应付前期使用，比较简单，不是正确的常用创建方式。

首先经过刚刚分析，二叉树是有一个一个节点构成的，所以我们就要创建节点

//首先经过刚刚分析，二叉树是有一个一个节点构成的，所以我们就要创建节点
class BTNode{
    public char val; //值域
    public BTNode left; //存储左孩子的引用
    public BTNode right; //存储右孩子的引用

    /**
     * 为什么不提供left 和 right的构造方法，这是因为我们创建节点的时候知道左右孩子的引用吗
     * 肯定是不知道的，所以不用提供
     * @param val
     */
    public BTNode(char val){
        this.val = val;
    }
}

public class BinaryTree {
    //创建一棵二叉树
    public BTNode creatBTN(){
        BTNode A = new BTNode('A');
        BTNode B = new BTNode('B');
        BTNode C = new BTNode('C');
        BTNode D = new BTNode('D');
        BTNode E = new BTNode('E');
        BTNode F = new BTNode('F');
        BTNode G = new BTNode('G');
        BTNode H = new BTNode('H');

        A.left = B;
        A.right = C;
        B.left = D;
        B.right = E;
        E.right = H;
        C.left = F;
        C.right = G;
        return A;
    }
}

在这里插入图片描述

debug调试看一下我们创建的对不对
在这里插入图片描述
说明创建的二叉树的对的，
上述代码并不是创建二叉树的方式，真正创建二叉树方式后序详解重点讲解

2.5、二叉树的遍历

学习二叉树结构，最简单的方式就是遍历。所谓****遍历(Traversal)是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题(比如：打印节点内容、节点内容加)。 遍历是二叉树上最重要的操作之一，是二叉树上进行其它运算之基础

2.5.1、前序遍历

NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点—>根的左子树—>根的右子树
在这里插入图片描述

2.5.2、中序遍历

LNR：中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树—>根节点—>根的右子树
在这里插入图片描述

2.5.3、后序遍历

LRN：后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树—>根的右子树—>根节点。
在这里插入图片描述

练习

写出下面二叉树的 前中后排序的 序列
在这里插入图片描述
前序遍历 ABDEHCFG
中序遍历 DBEHAFCG
后序遍历 DHEBFGCA

2.5.4、 代码实现二叉树的遍历

前序遍历

在这里插入图片描述

// 前序遍历
    public void preOrder(BTNode root){
        if(root == null){
            return;
        }
        System.out.print(root.val + " ");
        postOrde(root.left);
        postOrde(root.right);
    }

中序遍历

// 中序遍历
    public void inOrder(BTNode root){
        if(root == null){
            return;
        }
        inOrder(root.left);
        System.out.print(root.val + " ");
        inOrder(root.right);
    }

后序遍历

// 后序遍历
    public void postOrde(BTNode root){
        if(root == null){
            return;
        }
        postOrde(root.left);
        postOrde(root.right);
        System.out.print(root.val + " ");
    }

总的代码示例：

BinaryTree

//首先经过刚刚分析，二叉树是有一个一个节点构成的，所以我们就要创建节点
class BTNode{
    public char val; //值域
    public BTNode left; //存储左孩子的引用
    public BTNode right; //存储右孩子的引用

    /**
     * 为什么不提供left 和 right的构造方法，这是因为我们创建节点的时候知道左右孩子的引用吗
     * 肯定是不知道的，所以不用提供
     * @param val
     */
    public BTNode(char val){
        this.val = val;
    }
}

public class BinaryTree {
    //创建一棵二叉树
    public BTNode creatBTN(){
        BTNode A = new BTNode('A');
        BTNode B = new BTNode('B');
        BTNode C = new BTNode('C');
        BTNode D = new BTNode('D');
        BTNode E = new BTNode('E');
        BTNode F = new BTNode('F');
        BTNode G = new BTNode('G');
        BTNode H = new BTNode('H');

        A.left = B;
        A.right = C;
        B.left = D;
        B.right = E;
        E.right = H;
        C.left = F;
        C.right = G;
        return A;
    }

    // 前序遍历
    public void preOrder(BTNode root){
        if(root == null){
            return;
        }
        System.out.print(root.val + " ");
        postOrde(root.left);
        postOrde(root.right);
    }

    // 中序遍历
    public void inOrder(BTNode root){
        if(root == null){
            return;
        }
        preOrder(root.left);
        System.out.print(root.val + " ");
        preOrder(root.right);
    }

    // 后序遍历
    public void postOrde(BTNode root){
        if(root == null){
            return;
        }
        preOrder(root.left);
        preOrder(root.right);
        System.out.print(root.val + " ");
    }
}

Dome

public class Dome {
    public static void main(String[] args) {
        BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
        BTNode root = binaryTree.creatBTN();
        System.out.print("前序遍历：");
        binaryTree.preOrder(root);
        System.out.println();

        System.out.print("中序遍历：");
        binaryTree.inOrder(root);
        System.out.println();

        System.out.print("后序遍历：");
        binaryTree.postOrde(root);
    }
}

在这里插入图片描述

2.5.5、层序遍历

层序遍历：除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。
在这里插入图片描述

选择题

这里是引用
【参考答案】
1.A
2.A
3.D
4.A
在这里插入图片描述

2.6、二叉树的基本操作

获取树中节点的个数

在这里插入图片描述

 int cont = 0;
    // 获取树中节点的个数,以遍历的思路求解
    public int size1(BTNode root){
        if(root == null){
            return 0;
        }
        cont++;
        size1(root.left);
        size1(root.right);
        return cont;
    }
    
    // 获取树中节点的个数,以子问题的思路求解
    public int size2(BTNode root){
        if(root == null){
            return 0;
        }

        return size2(root.left) + size2(root.right) +1;
    }

求叶子节点的个数
在这里插入图片描述

// 获取叶子节点的个数, 以遍历的思路求解
    int cont1 = 0;
    public int getLeafNodeCount1(BTNode root){
        if(root == null){
            return 0;
        }
        if (root.left == null && root.right == null){
            cont1++;
        }
        getLeafNodeCount1(root.left);
        getLeafNodeCount1(root.right);
        return cont1;
    }

    // 获取叶子节点的个数 - 以子问题思路求解
    public int getLeafNodeCount2(BTNode root){
        if(root == null){
            return 0;
        }
        if(root.left == null && root.right == null){
            //左子树为null，右子树为null，说明前节点为叶子节点
            return 1;
        }
        return getLeafNodeCount2(root.left) + getLeafNodeCount2(root.right);
    }

获取第K层节点的个数 - 子问题思路
在这里插入图片描述

// 获取第K层节点的个数 - 子问题思路
    public int getKLevelNodeCount(BTNode root, int k){
        if(root == null){
            return 0;
        }
        if(k == 1){
            return 1;
        }
        return getKLevelNodeCount(root.left, k-1) + getKLevelNodeCount(root.right, k-1);
    }

获取二叉树的高度
在这里插入图片描述

    // 获取二叉树的高度
    public int getHeight(BTNode root){
        if(root == null){
            return 0;
        }
        int left = getHeight(root.left);
        int right = getHeight(root.right);
        return left > right ? left + 1 : right + 1;
    }

检测值为value的元素是否存在

在这里插入图片描述

 // 检测值为value的元素是否存在
    public BTNode find(BTNode root, char val){
        if(root == null){
            return null;
        }
        if(root.val == val){
            return root;
        }
        //上面的if没有进去说明没有找到，那就要取左树里面找
        BTNode ret = find(root.left,val);
        if(ret != null){
            return ret;
        }
        //左树没有找到，就在右树找
        ret = find(root.right,val);
        if(ret != null){
            return ret;
        }
        //左树和右树都没有找到，说明二叉树里面没有这个元素
        return null;
    }

注意：BTNode 里面存的是地址，所以在有元素的情况下返回得地址，没有元素的时候返回得才是null
所以我们在测试的时候可以使用下面的方式测试
在这里插入图片描述

判断一棵树是不是完全二叉树

 // 判断一棵树是不是完全二叉树
    boolean isCompleteTree(BTNode root){
        if(root == null){
            //如果是一颗空树，那也是一棵完全二叉树
            return true;
        }
        //创建一个队列
        Queue<BTNode> queue = new LinkedList<>();
        //将头结点入队
        queue.offer(root);
        //判断队列为不为空
        while (!queue.isEmpty()){
            //如果队列不为空，就将栈顶元素出队列
            BTNode tmp = queue.poll();
            if(tmp != null){
                //如果二叉树不为空，就将左右子树入队
                queue.offer(tmp.left);
                queue.offer(tmp.right);
            }else {
                //如果二叉树为空，那就跳出循环
                break;
            }
        }
        //循环结束，就判断栈里面还有没有元素，如果有，那就说明不是完全二叉树
        //如果没有，那就说明 是完全二叉树
        while (!queue.isEmpty()){
            //将栈里面的元素出队列
            BTNode tmp = queue.poll();
            if(tmp != null){
                //判断是不是还有元素，如果没有元素，栈里面全是null
                return false;
            }
        }
        return true;
    }

在这里插入图片描述

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免费数据恢复软件哪个好？排名前十的软件有这些！

我们经常会使用电脑&#xff0c;有时是为了放松娱乐&#xff0c;有时是为了处理工作。里面保存着大大小小的数据&#xff0c;多的数不胜数。如果我们的数据丢失&#xff0c;通过很多方法都没有办法恢复&#xff0c;那么软件可以帮助用户轻松处理各种丢失的文件&#xff0c;并可…
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IDEA git cherry pick 简单使用

IDEA git cherry pick 简单使用

cherry pick的作用&#xff1a; 参考了一些博客&#xff0c; eg&#xff1a;参考博客1 参考博客2 再做了个小案例后&#xff0c;我目前的理解是&#xff0c;cherry pick的作用是将一个分支的部分提交/历史提交,可以合并到另外一个分支。这也只是解决办法之一,之后遇到详细真实场…
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普元EOS中导出excl页面下载

普元EOS中导出excl页面下载

起因 需要做一个筛选功能的导出表格 解决办法 这个垃圾eos我是真受不了，sb玩意的缺点三天三夜也说不完 后边就没法整response的这些个东西，可真是够愁人的 在网上搜了搜 在普元的帮助文档里也看了看 普元提供的像是老太太的裹脚布一般又臭又长 参照这个可以看一下
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怕被AI取代快想办法“攒”个“数字第二大脑”

怕被AI取代快想办法“攒”个“数字第二大脑”

每日经济新闻发文：来自央视财经微博2月27日消息，美国《财富》杂志网站近日报道，美国一家提供就业服务的平台对1000家企业进行了调查。结果显示，美国最新调查显示50%企业已在用ChatGPT，其中48%已让其代替员工，有公司省下10多万美元！还有30%表示，有计划使用。
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4年经验来面试20K的测试岗，一问三不知，我还真不如去招应届生。

4年经验来面试20K的测试岗，一问三不知，我还真不如去招应届生。

公司前段缺人&#xff0c;也面了不少测试&#xff0c;结果竟然没有一个合适的。一开始瞄准的就是中级的水准&#xff0c;也没指望来大牛&#xff0c;提供的薪资在10-20k&#xff0c;面试的人很多&#xff0c;但平均水平很让人失望。看简历很多都是4年工作经验&#xff0c;但面试…
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华为OD机试题【找出通过车辆最多颜色】用 C++ 进行编码 （2023.Q1）

华为OD机试题【找出通过车辆最多颜色】用 C++ 进行编码 （2023.Q1）

最近更新的博客 华为od 2023 | 什么是华为od，od 薪资待遇，od机试题清单华为OD机试真题大全，用 Python 解华为机试题 | 机试宝典【华为OD机试】全流程解析+经验分享,题型分享,防作弊指南华为od机试，独家整理 已参加机试人员的实战技巧文章目录 最近更新的博客使用说明找出通…
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4.7 全文本搜索

4.7 全文本搜索

文章目录1.概述2.使用全文本搜索2.1 启用全文本搜索支持2.2 进行全文本搜索2.3 使用查询拓展2.4 布尔文本搜索3.全文本搜索使用说明1.概述 首先我们要知道&#xff0c;不是所有搜索引擎都支持全文本搜索&#xff0c;前边我们介绍过MySql支持多种数据类型&#xff0c;而其默认的…
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【微服务】-微服务环境搭建

【微服务】-微服务环境搭建

目录 2.1 技术选型 2.2 模块设计 2.3 微服务调用 2.4 创建⽗⼯程 2.5 创建商品微服务 2.6 创建订单微服务 2.1 技术选型 持久层: SpingData Jpa 数据库: MySQL5.7 其他: SpringCloud Alibaba 技术栈 2.2 模块设计 --- shop-parent ⽗⼯程 --- shop-product-api 商品微服…
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go提高升阶（四） I/O流学习

go提高升阶（四） I/O流学习

I/O 官网课程 购买课程找博主推荐 文章目录I/O文件信息创建文件、目录IO读IO写(权限)文件复制Seeker接口断点续传遍历文件夹bufio电脑中一切&#xff0c;都是以 二进制流的形式存在的。jpg&#xff1a;010100000010010101001010101010010101010 编码格式&#xff0c;还原为一个…
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（02）Unity HDRP Volume 详解

（02）Unity HDRP Volume 详解

1.概述这篇文章主要针对HDRP中的Volume和Volume Post-processing进行解释&#xff0c;针对于各个组件只能进行部分参数的解释&#xff0c;具体的信息可参考官方资料&#xff0c;这里只是对官方文档的图片效果补充以及笔者自己的理解。看到这里进入正文&#xff0c;请确保你的Un…
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企业IT信息化，BI 能做什么？

企业IT信息化，BI 能做什么？

随着数字化相关技术、应用的发展&#xff0c;社会总体的数字化发展进入了加速阶段&#xff0c;各行各业都开始有了数字化的身影&#xff0c;在这种情况下&#xff0c;数据已经成为了越来越多企业的重要资产&#xff0c;所以如何处理数据&#xff0c;让数据从资产转化为实际的价…
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