完全背包
有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品都有无限个（也就是可以放入背包多次），求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
完全背包和01背包问题唯一不同的地方就是，每种物品有无限件。
例：背包最大重量为4。
物品为：
| 重量 | 价值 | |
| 物品0 | 1 | 15 |
| 物品1 | 3 | 20 |
| 物品2 | 4 | 30 |
问背包能背的物品最大价值是多少？
完全背包的物品可以添加多次，所以正向遍历
for(int i = 0; i < weight.length; i++){//遍历物品
for(int j = weight[i]; j <= bagWeight; j++){//遍历背包
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j-weight[i]] + value[i]);
}
}
在完全背包中，对于一维数组，两个for循环顺序可以颠倒
因为dp[j]的值是根据下标j之前所对应的dp[j]计算出来的，也就是j的左方向的值。只要保证j之前的dp[j]都是已经计算过的就可以了
①先遍历物品：行遍历
②先遍历背包重量：列遍历
先遍历背包，代码如下
for(int j = 1; j <= bagWeight; j++){//遍历背包
for(int i = 0; i < weight.length; i++){//遍历物品
if(j-weight[i]>=0){
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j-weight[i]] + value[i]);
}
}
}详细代码：
①先遍历物品
public class Main {
public static void main(String[] args) {
int[] weight={1,3,4};
int[] value={15,20,30};
int bagWeight=4;
int[] dp=new int[bagWeight+1];
for (int i=0;i<weight.length;i++){
for (int j=weight[i];j<=bagWeight;j++){
dp[j]=Math.max(dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i]);
}
}
for (int i=0;i<weight.length;i++){
for (int j=0;j<=bagWeight;j++){
System.out.println(dp[j]);
}
}
}
}②先遍历背包
public class Main {
public static void main(String[] args) {
int[] weight={1,3,4};
int[] value={15,20,30};
int bagWeight=4;
int[] dp=new int[bagWeight+1];
for (int j=0;j<=bagWeight;j++){
for (int i=0;i<weight.length;i++){
if (j>=weight[i]) {
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
}
for (int i=0;i<weight.length;i++){
for (int j=0;j<=bagWeight;j++){
System.out.print(dp[j]+" ");
}
System.out.println("\n");
}
}
}518. 零钱兑换 II
给你一个整数数组 coins 表示不同面额的硬币，另给一个整数 amount 表示总金额。
请你计算并返回可以凑成总金额的硬币组合数。如果任何硬币组合都无法凑出总金额，返回 0 。
假设每一种面额的硬币有无限个。
题目数据保证结果符合 32 位带符号整数。
示例 1：
输入：amount = 5, coins = [1, 2, 5]
输出：4
解释：有四种方式可以凑成总金额： 5=5 5=2+2+1 5=2+1+1+1 5=1+1+1+1+1
示例 2：
输入：amount = 3, coins = [2]
输出：0
解释：只用面额 2 的硬币不能凑成总金额 3 。
示例 3：
输入：amount = 10, coins = [10]
输出：1
问题分析：
1、确定dp数组以及下标的含义
dp[j]：凑成总金额为 j 的硬币组合数
2、确定递推公式
与494.目标和类似，494使用的是二维数组，本题采用一维滚动数组
例如：coins[2]的价值为5，当遍历到i=2，j=5时，此时dp[5]的值来自上一层coins[1]的dp[5]和本层价值5+价值5所需凑齐到总金额的数，也就是dp[5]=dp[5]+dp[0]
所以递推公式为：
dp[j]=dp[j]+dp[j-coins[i]]
3、dp数组初始化
要初始化为dp[0]=1,否则结果都为0。凑齐金额为0的组合有1种，就是0
4、确定遍历顺序
本题要求是组合数，所以要注意循环顺序
①先遍历物品
先遍历价值为1的物品，再遍历价值为2的物品，在一行排序中有先有后，所以只会出现{1,2}，不会出现{2,1}，所以为组合数
②先遍历背包
列排序中，价值1和价值2都在同层出现，所以会出现{1,2}和{2,1}，为排列数
5、打印dp数组
class Solution {
public int change(int amount, int[] coins) {
int[] dp=new int[amount+1];
dp[0]=1;
for(int i=0;i<coins.length;i++){
for (int j=coins[i];j<=amount;j++){
dp[j]=dp[j]+dp[j-coins[i]];
}
}
/*for(int i=0;i<coins.length;i++){
for (int j=0;j<=amount;j++){
System.out.println(dp[j]+" ");
}
System.out.print("\n");
}*/
return dp[amount];
}
}377. 组合总和 Ⅳ
给你一个由 不同 整数组成的数组 nums ，和一个目标整数 target 。请你从 nums 中找出并返回总和为 target 的元素组合的个数。
题目数据保证答案符合 32 位整数范围。
示例 1：
输入：nums = [1,2,3], target = 4
输出：7
解释： 所有可能的组合为： (1, 1, 1, 1) (1, 1, 2) (1, 2, 1) (1, 3) (2, 1, 1) (2, 2) (3, 1) 请注意，顺序不同的序列被视作不同的组合。
示例 2：
输入：nums = [9], target = 3
输出：0
问题分析
1、确定dp数组以及下标的含义
dp[j]：凑成目标整数为 j 的组合数
2、确定递推公式
与518题类似，518求的是组合数，本题求的是排列数，有顺序要求
所以递推公式为：
dp[j]=dp[j]+dp[j-nums[i]]
3、dp数组初始化
要初始化为dp[0]=1,否则结果都为0。凑齐为0的组合有1种，就是0
4、确定遍历顺序
本题要求是排列数，所以要注意循环顺序，先遍历背包，后遍历物品，让数字在同层出现，可被重复利用
5、打印dp数组
class Solution {
public int combinationSum4(int[] nums, int target) {
int[] dp=new int[target+1];
dp[0]=1;
for (int j=0;j<=target;j++){
for (int i=0;i< nums.length;i++){
if (j>=nums[i]){
dp[j]=dp[j]+dp[j-nums[i]];
}
}
}
return dp[target];
}
}
