多分类问题

利用逻辑回归解决多分类问题，假如有一个训练集，有 3 个类别，分别为三角形 𝑦 = 1，方框𝑦 = 2，圆圈 𝑦 = 3。我们下面要做的就是使用一个训练集，将其分成 3 个二元分类问题。
我们先从用三角形代表的类别 1 开始，此时创造一个新的训练集，三角形为正类，方框和圆圈为负类；

对于方框代表的类别2，此时创造一个新的训练集，方框为正类，三角形和圆圈为负类；

对于圆圈代表的类别3，此时创造一个新的训练集，圆圈为正类，方框和三角形为负类。

过拟合问题

如果模型有非常多的特征，我们通过学习得到的假设可能能够非常好地适应训练集（代价函数可能几乎为 0），但是可能会不能推广到新的数据集。

第一个模型是一个线性模型，欠拟合，不能很好地适应我们的训练集；第三个模型是一
个四次方的模型，过于强调拟合原始数据，而丢失了算法的本质：预测新数据。我们可以看
出，若给出一个新的值使之预测，它将表现的很差，是过拟合，虽然能非常好地适应我们的
训练集但在新输入变量进行预测时可能会效果不好；而中间的模型似乎最合适。

过拟合问题解决方法：

1.丢弃一些不能帮助我们正确预测的特征。可以是手工选择保留哪些特征，或者使用一些模型选择的算法来帮忙（例如 PCA）
2.正则化。 保留所有的特征，但是减少参数的大小（magnitude）。

正则化线性回归

对于上面的图片所示模型，由于高次项导致过拟合的问题，所以通过将高次项的系数接近于0来解决这个问题（即减少${\theta }_3、{\theta }_4$的大小）。通过在${\theta }_3、{\theta }_4$加入惩罚项来减少${\theta }_3、{\theta }_4$的大小。
$$J({\theta }_0,{\theta }_1,...,{\theta }_n)=\frac{1}{2m}\sum _{i=1}^m(h_{\theta }(x^{(i)})-y^{(i)}{)}^2$$
将上述代价函数改为
$$J({\theta }_0,{\theta }_1,...,{\theta }_4)=\frac{1}{2m}[\sum _{i=1}^m(h_{\theta }(x^{(i)})-y^{(i)}{)}^2+1000{\theta }_3^2+10000{\theta }_4^2]$$
假如我们有非常多的特征，我们并不知道其中哪些特征我们要惩罚，我们将对所有的特征进行惩罚，并且让代价函数最优化的软件来选择这些惩罚的程度。这样的结果是得到了一个较为简单的能防止过拟合问题的假设(一般不对${\theta }_0$进行惩罚)：
$$J(\theta )=\frac{1}{2m}[\sum _{i=1}^m(h_{\theta }(x^{(i)})-y^{(i)}{)}^2+\lambda \sum _{j=1}^n{\theta }_j^2]$$
如果选择的正则化参数 λ 过大，则会把所有的参数都最小化了，导致模型变成 Font metrics not found for font: .，也就是图中红色直线所示的情况，造成欠拟合。 因为如果我们令 𝜆 的值很大的话，为了使 Cost Function 尽可能的小，所有的 𝜃 的值（不包括${\theta }_0$）都会在一定程度上减小。

对正则化后的代价函数进行梯度下降得到
$${\theta }_0:={\theta }_0-\alpha \frac{1}{m}\sum _{i=1}^m(h_{\theta }(x^{(i)})-y^{(i)})x_0^{(i)}$$

$${\theta }_j:={\theta }_j-\alpha [\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m(h_{\theta }(x^{(i)})-y^{(i)})x_j^{(i)}+\frac{\lambda }{m}{\theta }_j]$$

整个公式可写为
$${\theta }_j:={\theta }_j(1-\alpha \frac{\lambda }{m})-\alpha \frac{1}{m}\sum _{i=1}^m(h_{\theta }(x^{(i)})-y^{(i)})x_j^{(i)}$$
则化线性回归的梯度下降算法的变化在于，每次都在原有算法更新规则的基础上令𝜃值减少了一个额外的值。

利用正规方程来求解正则化线性回归模型

正则化逻辑回归模型

$$J(\theta )=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m-y^{(i)}\cdot log(h_{\theta }(x^{(i)}))-(1-y^{(i)})\cdot log(1-h_{\theta }(x^{(i)}))+\frac{\lambda }{2m}\sum _{j=1}^n{\theta }_j^2$$

该代价函数的梯度下降算法为
$${\theta }_0:={\theta }_0-\alpha \frac{1}{m}\sum _{i=1}^m(h_{\theta }(x^{(i)})-y^{(i)})x_0^{(i)}$$

$${\theta }_j:={\theta }_j-\alpha [\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m(h_{\theta }(x^{(i)})-y^{(i)})x_j^{(i)}+\frac{\lambda }{m}{\theta }_j]$$