目录：
一.题目及其示例
二.动态规划的基本思想
三.思路
动态规划五部曲
1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义
2.确定递推公式
3.dp数组如何初始化
4.确定遍历顺序
5.举例推导dp数组

一.题目及其示例

给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长公共子序列的长度。

说明：一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。

例如："ace" 是 "abcde" 的子序列，但 "aec" 不是 "abcde" 的子序列。

两个字符串的公共子序列是这两个字符串所共同拥有的子序列。

若这两个字符串没有公共子序列，则返回 0。

示例 1：输入：text1 = "abcde", text2 = "ace"

输出：3

解释：最长公共子序列是 "ace"，它的长度为 3；

示例 2: 输入：text1 = "abc", text2 = "abc"

输出：3

解释：最长公共子序列是 "abc"，它的长度为 3；

示例 3: 输入：text1 = "abc", text2 = "def" ；

输出：0

解释：两个字符串没有公共子序列，返回 0；

提示:

• 1 <= text1.length <= 1000

• 1 <= text2.length <= 1000 输入的字符串只含有小写英文字符。

二.动态规划的基本思想

动态规划算法的基本思想是：将待求解的问题分解成若干个相互联系的子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解；对于重复出现的子问题，只在第一次遇到的时候对它进行求解，并把答案保存起来，让以后再次遇到时直接引用答案，不必重新求解。动态规划算法将问题的解决方案视为一系列决策的结果。

三.思路

动态规划五部曲

1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i][j]：长度为[0, i - 1]的字符串text1与长度为[0, j - 1]的字符串text2的最长公共子序列为dp[i][j]

有同学会问：为什么要定义长度为[0, i - 1]的字符串text1，定义为长度为[0, i]的字符串text1不香么？

这样定义是为了后面代码实现方便。

2.确定递推公式

主要就是两大情况： text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同，text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同；

如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同，那么找到了一个公共元素，所以dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;

如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同，那就看看text1[0, i - 2]与text2[0, j - 1]的最长公共子序列 和 text1[0, i - 1]与text2[0, j - 2]的最长公共子序列，取最大的。

即：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);

代码如下：

if(text1[i -1]== text2[j -1])
{
    dp[i][j]= dp[i -1][j -1]+1;
}
else
  {
    dp[i][j]=max(dp[i -1][j], dp[i][j -1]);
  }

3.dp数组如何初始化

先看看dp[i][0]应该是多少呢？

test1[0, i-1]和空串的最长公共子序列自然是0，所以dp[i][0] = 0;

同理dp[0][j]也是0。

其他下标都是随着递推公式逐步覆盖，初始为多少都可以，那么就统一初始为0。

代码：

vector<vector<int>> dp(text1.size() + 1, vector<int>(text2.size() + 1, 0));

1

4.确定遍历顺序

从递推公式，可以看出，有三个方向可以推出dp[i][j]，如图：

那么为了在递推的过程中，这三个方向都是经过计算的数值，所以要从前向后，从上到下来遍历这个矩阵。

5.举例推导dp数组

以输入：text1 = "abcde", text2 = "ace" 为例，dp状态如图：

最后红框dp[text1.size()][text2.size()]为最终结果

以上分析完毕，C++代码如下：

class Solution {
public:
    int longestCommonSubsequence(string text1, string text2) {
        vector<vector<int>> dp(text1.size() + 1, vector<int>(text2.size() + 1, 0));
        for (int i = 1; i <= text1.size(); i++) {
            for (int j = 1; j <= text2.size(); j++) {
                if (text1[i - 1] == text2[j - 1]) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                } else {
                    dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
                }
            }
        }
        return dp[text1.size()][text2.size()];
    }
};

java

/*
    二维dp数组
*/
class Solution {
    public int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {
        int[][] dp = new int[text1.length() + 1][text2.length() + 1]; // 先对dp数组做初始化操作
        for (int i = 1 ; i <= text1.length() ; i++) {
            char char1 = text1.charAt(i - 1);
            for (int j = 1; j <= text2.length(); j++) {
                char char2 = text2.charAt(j - 1);
                if (char1 == char2) { // 开始列出状态转移方程
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                } else {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
                }
            }
        }
        return dp[text1.length()][text2.length()];
    }
}



/**
    一维dp数组
*/
class Solution {
    public int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {
        int n1 = text1.length();
        int n2 = text2.length();

        // 多从二维dp数组过程分析  
        // 关键在于  如果记录  dp[i - 1][j - 1]
        // 因为 dp[i - 1][j - 1]  <!=>  dp[j - 1]  <=>  dp[i][j - 1]
        int [] dp = new int[n2 + 1];

        for(int i = 1; i <= n1; i++){

            // 这里pre相当于 dp[i - 1][j - 1]
            int pre = dp[0];
            for(int j = 1; j <= n2; j++){

                //用于给pre赋值
                int cur = dp[j];
                if(text1.charAt(i - 1) == text2.charAt(j - 1)){
                    //这里pre相当于dp[i - 1][j - 1]   千万不能用dp[j - 1] !!
                    dp[j] = pre + 1;
                } else{
                    // dp[j]     相当于   dp[i - 1][j]
                    // dp[j - 1] 相当于   dp[i][j - 1]
                    dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - 1]);
                }

                //更新dp[i - 1][j - 1], 为下次使用做准备
                pre = cur;
            }
        }

        return dp[n2];
    }
}