凸优化问题

凸优化问题的广义定义：

• 目标函数为凸函数
• 约束集合为凸集

一、优化问题

基本用语

一般优化问题的描述：
$$\begin{array}{ll}\mathrm{minimize}& f_0(x)\\ \text{ subject to }& f_i(x)⩽0,i=1,\cdots ,m\\ & h_i(x)=0,i=1,\cdots ,p\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$
相关定义：

$x\in {\mathbb{R}}^n$：优化变量，optimization variable

$f_0:{\mathbb{R}}^n\to R$：目标函数/损失函数，objective function/cost function

若是一个极大化问题，那么称为 效用函数 utility function

$f_i(x)\le 0:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$：不等式约束，inequality constraint

$h_i(x)=0$：等式约束 equality constraint

$m=p=0$：无约束 unconstraited

优化问题的域：domain；所有函数定义域的交集
$$\mathcal{D}=\bigcap _{i=0}^m\mathrm{dom}{f}_i\cap \bigcap _{i=1}^p\mathrm{dom}{h}_i$$
可行解集：feasible set，使得问题约束满足的解的集合

注意，还需要在目标函数的定义域内

最优点与局部最优点

最优点与局部最优点：若可行解集合不是空集那么总是能在集合中找到一个X，使得目标函数最优，这个值称为最优值。
P ∗ = inf ⁡ { f 0 ( x ) ∣ X ∈ X f } P^*=\inf \{f_0(x)|X\in X_f\} P∗=inf{f0​(x)∣X∈Xf​}
若$X_f$为空集，那么$P^{\ast }=\infty$

最优解：若$X^{\ast }$可行，且$f_0(X^{\ast })=P^{\ast }$

最优解集：最优解的集合
X o p t = { X ∣ X ∈ X f , f 0 ( X ) = P ∗ } X_{opt}=\{X|X\in X_f,f_0(X)=P^*\} Xopt​={X∣X∈Xf​,f0​(X)=P∗}
$ϵ-$次优解集：satisficing solution

约束一般要满足，目标函数值不一定要达到最优值，可以离最优值小一定的距离$ϵ$
X ϵ = { X ∈ X f , f 0 ( X ) ≤ P ∗ + ϵ } X_{\epsilon}=\{X\in X_f,f_0(X)\leq P^*+\epsilon\} Xϵ​={X∈Xf​,f0​(X)≤P∗+ϵ}

局部最优解：

域、可行解集、全局最优解、局部最优解，$ϵ$解集之间的关系：

若$x\in X_f,f_i(x)=0$，则$f_i(x)\le 0$为活动约束；$f_i(x)<0$为不活动约束。

排除临界点的方法：

可行性优化问题

可行性优化问题一般可以写成下面的形式：
$$\begin{array}{ll}\text{ find }& x\\ \text{ subject to }& f_i(x)⩽0,i=1,\cdots ,m\\ & h_i(x)=0,i=1,\cdots ,p.\end{array}$$
如何写成标准的形式？写成最优化一个常数。

问题的标准表示

框约束 Box Constraints

$$\begin{array}{ll}\text{minimize}& f_0(x)\\ \text{subject to}& l_1\le x_i\le u_i,i=1,...,n\end{array}$$

即每个变量都有一个上界和下界，那么可以转换为下面的标准形式：
$$\begin{array}{ll}\text{minimize}& f_0(x)\\ \text{subject to}& l_i-x_i\le 0,i=1,...,n\\ & x_i-u_i\le 0,i=1,...,n\end{array}$$

等价问题

如果从一个问题的解，很容易得到另一个问题的解，并且反之亦然，那么我们称两个问题是等价的。作为一个简单的例子，考虑：
$$\begin{array}{ll}\mathrm{minimize}& \tilde{f}(x)={\alpha }_0{f}_0(x)\\ \text{ subject to }& {\tilde{f}}_i(x)={\alpha }_i{f}_i(x)⩽0,i=1,\cdots ,m\\ & {\tilde{h}}_i(x)={\beta }_i{h}_i(x)=0,i=1,\cdots ,p\end{array}\text{\hspace{1em}(2)}$$
很多时候约束的量级不同，量级过大导致约束的权重变化。通过等价转换，可以将问题的约束进行标准化。

目标函数和约束函数的变换

设：${\psi }_0:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$单增；${\psi }_1,...,{\psi }_m:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$满足：当且仅当$u\le 0$时${\psi }_i(u)\le 0;{\psi }_{m+1},...,{\psi }_{m+p}:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$满足：当且仅当$u=0$时${\psi }_i(u)=0$。我们定义函数${\tilde{f}}_i$和${\tilde{h}}_i$为复合函数：
$${\tilde{f}}_i(x)=\psi (f_i(x)),i=0,...,m{\tilde{h}}_i(x)={\psi }_{m+i}(h_i(x)),i=1,...,p$$
显然，问题

与标准形式式1等价且同解。并且式2是$\psi$为线性函数的一种特例。

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例：最小函数和最小范数平方问题
$$\min ||AX-b|{|}_2$$
上述问题是一个无约束的优化问题，等价于最小化二范数的平方。
$$\min ||AX-b|{|}_2^2$$
原因是原函数在实数域内单调递增。

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松弛变量

$f_i(x)\le 0$等价于$\exists s_i\ge 0,f_i(x)+s_i(x)=0$，将问题进行转换，得到：

引入$s_i$后，问题就不仅是关于x的优化问题了。对于问题的凸性，需要对变量x和s同时验证。

进行松弛后，将变量的维数和约束都增加了。但有些时候，会通过松弛变量，将问题的结构转换为更加通用的结构。

等式约束的消除

例：等式约束的消除

对于优化问题而言，约束的数目越多，优化越复杂，所以消除等式约束是降低优化问题难度的一个重要方法。

{ h i ( x ) = 0 , i = 1 , . . . , p } (3) \{h_i(x)=0,i=1,...,p\}\tag{3} {hi​(x)=0,i=1,...,p}(3)

是一组方程。假设我们能够得到这组方程的解，那么用一组参数$z\in {\mathbb{R}}^k$来显式地参数化等式约束。设函数$\varphi :{\mathbb{R}}^k\to {\mathbb{R}}^n$是这样的函数：$x$满足式（3）等价于存在一些$z\in {\mathbb{R}}^k$，使得
$$x=\varphi (z)$$
那么优化问题

与原问题式1等价。求解出$z$后，可由$x=\varphi (z)$得出最优解$x$。

相当于用变量z去表示x，然后代入原目标函数和约束中。

等式定义了一组超平面，可以表示为特解+一组基的形式。

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例：消除线性等式约束$AX-b=0$

$A\in {\mathbb{R}}^{p\times n}$，是否能找到一组$z$表示X呢？

分情况讨论：

• $AX-b=0$无解，那么原问题无可行解
• 反之，令$x_0$为等式约束的任意可行解，那么通解可以表示为$Fz+x_0$。即$\varphi (z)=Fz+x_0$

二、凸优化

标准形式的凸优化问题

凸优化问题是形如：
$$\begin{array}{ll}\mathrm{minimize}& f_0(x)\\ \text{ subject to }& f_i(x)⩽0,i=1,\cdots ,m\\ & a_i^x=b_i,i=1,\cdots ,p\end{array}\text{\hspace{1em}(4)}$$
从广义上来说，如果目标函数是一个凸函数，约束的集合为凸集，那么问题就是凸问题。

狭义上的凸问题：

• 目标函数是凸函数
• 不等式约束的函数也是凸函数
• 等式约束函数是仿射函数

在这样的定义下，凸优化问题的可行域一定是凸的，因为他是问题定义域
$$\mathcal{D}=\bigcap _{i=0}^m\mathbf{dom}{f}_i$$
（凸集），m个下水平集，以及p个超平面的交集。因此，在凸优化问题中，我们是在一个凸集上极小化一个凸的函数。

若目标函数变为拟凸函数，那么该问题成为拟凸优化问题。但如果目标函数是凹函数，或者其他函数，那么我们统一称之为非凸优化问题。

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例：
$$\begin{gathered} \min f_0(x)=x_1^2+x_2^2 \\ \text{s.t.}\{\begin{array}{l}{f}_1(x):\frac{x_1}{1+x_2^2}\le 0\\ h_1(x):(x_1+x_2{)}^2=0\end{array} \end{gathered}$$
表面上看不是狭义的凸问题，可以转换为下面的形式：

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如果等式约束是一个放射约束，那么可利用等式约束对问题进行降维：

一般来说，不对问题进行降维，有必要的情况才会进行降维。

凹最大化问题

约束不变，若目标是最大化一个凹函数，那么等价于最小化一个凸函数，即，该情况下仍是凸优化问题。
$$\max f_0(x)\iff \min -f_0(x)$$
同理，如果$f_0(x)$是拟凹的，那么最大化该问题被称为拟凹的。

局部最优解与全局最优解

对于凸问题来说，局部最优解一定是全局最优解。

局部最优： ∃ R > 0 , f 0 ( x ) = inf ⁡ { f 0 ( z ) ∣ z 可行 , x 可行 , ∣ ∣ x − z ∣ ∣ ≤ R } \exist R>0,f_0(x)=\inf \{f_0(z)|z可行,x可行,||x-z||\leq R\} ∃R>0,f0​(x)=inf{f0​(z)∣z可行,x可行,∣∣x−z∣∣≤R}

证明：

设$x$不是全局最优解，即$\exists y$可行，$f_0(y)<f_0(x)$。

又因为$x$是局部最优的，那么$||y-x|{|}_2>R$，那么可以构造出一个新的解：$z=(1-\theta )x+\theta y,\theta =\frac{R}{2||y-x|{|}_2}\in [0,\frac{1}{2}]$，所以z是x和y的凸组合。又因为可行解集一定是个凸集，所以z一定在可行解集内，即$z$可行。

又因为$f_0(x)$是凸函数，故
$$\begin{gathered} f_0(z)\le \theta f_0(x)+(1-\theta )f_0(y) \\ ||z-x|{|}_2=\theta ||x-y|{|}_2=\frac{R}{2}\text{\hspace{1em}(2.2)} \end{gathered}$$
即$z$在x的邻域内。因为x是局部最优解，故$f_0(x)<f_0(z)$。

即，综上所述，需要满足下面的条件：
$$\begin{gathered} f_0(y)<f_0(x) \\ {f}_0(x)<f_0(z) \end{gathered}$$
即f
$$f_0(y)<f_0(x)<f_0(z)$$
与式2.2矛盾。故x一定是全局最优解。

图形表示：

可微函数$f_0$的最优性准则

可微凸问题目标函数的一阶条件：
$$f_0(y)\ge f_0(x)+\nabla f_0^T(x)\cdot (y-x)\forall x,y\in \mathbf{dom}f$$
问题的可行域：
X f = { x ∣ f i ( x ) ≤ 0 , i = 1 , . . . , m ; h i ( x ) = 0 , i = 1 , . . . , p } X_f=\{x|f_i(x)\leq 0,i=1,...,m;h_i(x)=0,i=1,...,p\} Xf​={x∣fi​(x)≤0,i=1,...,m;hi​(x)=0,i=1,...,p}
那么$X^{\ast }\in X_f$最优等价于
$$\nabla f_0^T(X^{\ast })(y-X^{\ast })\ge 0\text{\hspace{1em}(2.3)}$$

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约束仅为等式约束

$$\begin{gathered} \min f_0(x) \\ \mathbf{dom}{f}_0={\mathbb{R}}^n \\ s.t.AX=b \end{gathered}$$

若$\exists x,AX=b$，那么X最优等价于$\forall y,Ay=b,\nabla f_0^T(x)(y-x)\ge 0$成立。

又因为$AX=b，Ay=b$，那么$y=X+v,v\in \mathcal{N}(A)$，即A的化零空间中的一个向量。

y是方程组的解，等于通解v加上特解X

因此，最优性条件可表示为
$$\nabla f_0(x)v\ge 0,\forall v\in \mathcal{N}(A)$$
那么只有两种情况：

• 子空间退化为零点：那么$y==X$，即方程只有一个解，矩阵A是可逆的。

• $\nabla f_0(x)$正交于子空间：

  

约束仅为非负约束：互补条件

$$\begin{gathered} \min f_0(x) \\ s.t.x\ge 0 \end{gathered}$$

若$\exists x\ge 0$，$x$最优等价于$\forall y\ge 0$
$$\begin{gathered} \nabla f_0^T(x)(y-x)\ge 0 \\ 即\nabla f_0^T(x)y-\nabla f_0^T(x)x\ge 0 \end{gathered}$$

• ①：若$\nabla f_0^T(x)\le 0$，则$\nabla f_0^T(x)y$必可以取无穷小，则必有$\nabla f_0(x)\ge 0$
• ② $\forall y$均有$\nabla f_0(x{)}^T(y-x)\ge 0$，当y=0时，$\nabla f_0^T(x)x\le 0$
• ③ $\nabla f_0^T(x)\ge 0,x\ge 0，$则$\nabla f_0^T(x)x\ge 0$

由②和③可知，$f_0^T(x)x=0$

结论：如果x是最优解，那么一定满足下面的条件
$$\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ \nabla f_0(x)\ge 0\\ (\nabla f_0(x){)}_i{x}_i=0\end{array}$$
该条件称为互补条件。

几何解释：