一、实验内容

掌握神经元细胞的数学模型；
理解并掌握神经网络的训练过程；
理解并掌握神经网络中的矩阵运算；
理解三大概念-反向传播，梯度下降，损失函数；
理解神经网络的主要功能。

二、实验过程

1、算法思想

人工神经网络是由简单神经元经过相互连接形成网状结构，通过调节各连接的权重值改变连接的强度，进而实现感知判断。

2、算法原理

神经元是神经网络的基本计算单元，也被称作节点或者单元。它可以接受来自其他神经元的输入或者是外部的数据，然后计算一个输出。

每个输入值都有一个权重,权重的大小取决于这个输入相比于其他输入值的重要性。然后在神经元上执行一个特定的函数 f, 这个函数会该神经元的所有输入值以及其权重进行一个操作。

传统神经网络结构比较简单，训练时随机初始化输入参数，并开启循环计算输出结果，与实际结果进行比较从而得到损失函数，并更新变量使损失函数结果值极小，当达到误差阈值时即可停止循环。算法原理是在外界输入样本的刺激下不断改变网络的连接权值。

3、算法分析

前馈神经网络是一种单向多层的网络结构，即信息是从输入层开始，逐层向一个方向传递，一直到输出层结束。

所谓的“前馈”是指输入信号的传播方向为前向，在此过程不调整各层的权值参数

而反传播时时将误差逐层向后传播，从而实现使用权值参数对特征的记忆，即通过反向传播（BP）算法来计算各层网络中神经元之间边的权重。BP算法具有非线性映射能力，理论上可以逼近任意连续函数，从而实现对模型的学习。

三、源程序代码

import numpy as np
 
 
def sigmoid(x):
    # Sigmoid activation function: f(x) = 1 / (1 + e^(-x))
    return 1 / (1 + np.exp(-x))
 
 
def deriv_sigmoid(x):
    # Derivative of sigmoid: f'(x) = f(x) * (1 - f(x))
    fx = sigmoid(x)
    return fx * (1 - fx)
 
 
def mse_loss(y_true, y_pred):
    # y_true和y_pred是相同长度的numpy数组。
    return ((y_true - y_pred) ** 2).mean()
 
 
class OurNeuralNetwork:
    '''
    A neural network with:
      - 2 inputs
      - a hidden layer with 2 neurons (h1, h2)
      - an output layer with 1 neuron (o1)
    *** 免责声明 ***:
      下面的代码是为了简单和演示，而不是最佳的。
      真正的神经网络代码与此完全不同。不要使用此代码。
      相反，读/运行它来理解这个特定的网络是如何工作的。
    '''
 
    def __init__(self):
        # 权重，Weights
        self.w1 = np.random.normal()
        self.w2 = np.random.normal()
        self.w3 = np.random.normal()
        self.w4 = np.random.normal()
        self.w5 = np.random.normal()
        self.w6 = np.random.normal()
 
        # 截距项，Biases
        self.b1 = np.random.normal()
        self.b2 = np.random.normal()
        self.b3 = np.random.normal()
 
    def feedforward(self, x):
        # X是一个有2个元素的数字数组。
        h1 = sigmoid(self.w1 * x[0] + self.w2 * x[1] + self.b1)
        h2 = sigmoid(self.w3 * x[0] + self.w4 * x[1] + self.b2)
        o1 = sigmoid(self.w5 * h1 + self.w6 * h2 + self.b3)
        return o1
 
    def train(self, data, all_y_trues):
        '''
        - data is a (n x 2) numpy array, n = # of samples in the dataset.
        - all_y_trues is a numpy array with n elements.
          Elements in all_y_trues correspond to those in data.
        '''
        learn_rate = 0.1
        epochs = 1000  # 遍历整个数据集的次数
 
        for epoch in range(epochs):
            for x, y_true in zip(data, all_y_trues):
                # --- 做一个前馈(稍后我们将需要这些值)
                sum_h1 = self.w1 * x[0] + self.w2 * x[1] + self.b1
                h1 = sigmoid(sum_h1)
 
                sum_h2 = self.w3 * x[0] + self.w4 * x[1] + self.b2
                h2 = sigmoid(sum_h2)
 
                sum_o1 = self.w5 * h1 + self.w6 * h2 + self.b3
                o1 = sigmoid(sum_o1)
                y_pred = o1
 
                # --- 计算偏导数。
                # --- Naming: d_L_d_w1 represents "partial L / partial w1"
                d_L_d_ypred = -2 * (y_true - y_pred)
 
                # Neuron o1
                d_ypred_d_w5 = h1 * deriv_sigmoid(sum_o1)
                d_ypred_d_w6 = h2 * deriv_sigmoid(sum_o1)
                d_ypred_d_b3 = deriv_sigmoid(sum_o1)
 
                d_ypred_d_h1 = self.w5 * deriv_sigmoid(sum_o1)
                d_ypred_d_h2 = self.w6 * deriv_sigmoid(sum_o1)
 
                # Neuron h1
                d_h1_d_w1 = x[0] * deriv_sigmoid(sum_h1)
                d_h1_d_w2 = x[1] * deriv_sigmoid(sum_h1)
                d_h1_d_b1 = deriv_sigmoid(sum_h1)
 
                # Neuron h2
                d_h2_d_w3 = x[0] * deriv_sigmoid(sum_h2)
                d_h2_d_w4 = x[1] * deriv_sigmoid(sum_h2)
                d_h2_d_b2 = deriv_sigmoid(sum_h2)
 
                # --- 更新权重和偏差
                # Neuron h1
                self.w1 -= learn_rate * d_L_d_ypred * d_ypred_d_h1 * d_h1_d_w1
                self.w2 -= learn_rate * d_L_d_ypred * d_ypred_d_h1 * d_h1_d_w2
                self.b1 -= learn_rate * d_L_d_ypred * d_ypred_d_h1 * d_h1_d_b1
 
                # Neuron h2
                self.w3 -= learn_rate * d_L_d_ypred * d_ypred_d_h2 * d_h2_d_w3
                self.w4 -= learn_rate * d_L_d_ypred * d_ypred_d_h2 * d_h2_d_w4
                self.b2 -= learn_rate * d_L_d_ypred * d_ypred_d_h2 * d_h2_d_b2
 
                # Neuron o1
                self.w5 -= learn_rate * d_L_d_ypred * d_ypred_d_w5
                self.w6 -= learn_rate * d_L_d_ypred * d_ypred_d_w6
                self.b3 -= learn_rate * d_L_d_ypred * d_ypred_d_b3
 
            # --- 在每次epoch结束时计算总损失
            if epoch % 100 == 0:
                y_preds = np.apply_along_axis(self.feedforward, 1, data)
                loss = mse_loss(all_y_trues, y_preds)
                print("Epoch %d loss: %.3f" % (epoch, loss))
 
 
# 定义数据集
data = np.array([
    [-2, -1],  # Alice
    [25, 6],  # Bob
    [17, 4],  # Charlie
    [-15, -6],  # Diana
])
all_y_trues = np.array([
    1,  # Alice
    0,  # Bob
    0,  # Charlie
    1,  # Diana
])
 
# 训练我们的神经网络!
network = OurNeuralNetwork()
network.train(data, all_y_trues)