刚体运动 (位置向量 - 旋转矩阵) 笔记 1.1~1.3 (台大机器人学-林沛群)

1. 理解刚体的“自由度”（Degrees of Freedom, DOF）

1.1 平面运动 (2D)

1.2 空间运动 (3D)

2. 统一描述：引入“体坐标系”（Body Frame）

3. 从“状态”到“运动”：引入微分

3.1 补充：如何理解微分

4. 移动状态 - 位置向量 (Position Vector)

4.1 关于向量的两种含义

5. 转动姿态 - 旋转矩阵 (Rotation Matrix)

5.1 旋转矩阵与投影 (Direct Cosines)

5.1.1 点积 “⋅” (内积) 得到投影

5.1.2 一句话概括 (旋转矩阵)

5.2 计算旋转矩阵实例

5.2.1 例1 (简单情况) ：

5.2.2 例2 (需要投影计算) ：

6. 随堂测试 (姿态->世界坐标)

台大公开课链接：機器人學一 (Robotics (1)) - 物體在空間運動之描述 (一) - 第 1 周 | Coursera
视频链接：1-1 导论_哔哩哔哩_bilibili
上回书说到：机器人学入门 (从机械手臂开始的智能世界) 笔记 0.1 (台大机器人学-林沛群)-CSDN博客
以下是视频课程的详细笔记（后续会持续更新）

本系列课程将深入探讨机械手臂的运动学与操作。在正式进入机械手臂的具体内容之前，我们需要补充一些必备的数学基础，核心在于如何精确地描述一个“刚体”（Rigid Body）的运动状态。这是因为在后续分析中，我们通常将机械手臂的各个部件视为刚体来处理。

补充：

刚体是一个理想化的固体，其大小和形状在受到力的作用时保持不变，用于牛顿力学中对真实物体进行建模

1. 理解刚体的“自由度”（Degrees of Freedom, DOF）

我们先从最简单的情况入手：如何描述一个刚体的运动？

1.1 平面运动 (2D)

想象一个在平面上运动的物体，例如PPT上展示的那个绿色椭圆。我们可以在平面上定义一个“世界坐标系”（World Frame），通常用 {W} 或 {A} 表示，它有X和Y两个轴。

要描述这个物体在平面上的运动，需要多少个参数呢？

移动 (Translation)：物体可以在平面上沿X轴（水平）和Y轴（竖直）移动。因此，需要两个参数来确定其位置。这对应两个移动自由度 (3 DOFs)。
转动 (Rotation)：物体还可以在平面内绕着某个点旋转（顺时针或逆时针）。这需要一个参数来描述其朝向。这对应一个转动自由度 (1 DOF)。

总结来说，描述一个平面刚体的运动状态，总共需要 3个自由度（2个移动 + 1个转动）。

1.2 空间运动 (3D)

现在考虑空间中的刚体。世界坐标系相应地增加一个Z轴，变为三维坐标系 {W} (或 {A}) 。

移动 (Translation)：物体的质心可以在空间中沿X轴（左右）、Y轴（上下）和Z轴（前后）移动。因此，需要三个参数来描述其位置。对应三个移动自由度 (3 DOFs)。
转动 (Rotation)：物体可以分别绕着X轴、Y轴和Z轴进行旋转。这需要三个参数来描述其姿态。对应三个转动自由度 (3 DOFs)。

因此，描述一个空间刚体的运动状态，总共需要 6个自由度（3个移动 + 3个转动）。

2. 统一描述：引入“体坐标系”（Body Frame）

既然刚体运动包含移动和转动两部分，有没有一种简洁的方法能将它们统一起来表达呢？

答案是在 刚体本身 上建立一个坐标系，我们称之为“体坐标系”（Body Frame），通常用 {B} 表示。这个坐标系是固定在刚体上的，会随着刚体一起运动。通常，我们会将体坐标系的原点建立在刚体的一个固定点上，比如质心 (被视为质量的中心) 。如上图所示，在绿色刚体上画上了一个橘色的坐标系统 {B} 。

通过引入体坐标系 {B}，我们可以这样描述刚体的状态：

移动状态：通过追踪体坐标系 {B} 的原点 (质心) 相对于世界坐标系 {A} (或称为{W}) 的位置来确定。
转动状态（姿态）：通过观察体坐标系 {B} 的三个坐标轴（,,）相对于世界坐标系 {A} (或称为{W}) 的朝向或姿态来确定。

这样，借助体坐标系的原点位置和三个轴的姿态，我们就能同时描述刚体的移动和转动状态了。

3. 从“状态”到“运动”：引入微分

前面讨论的是某个瞬间的几何状态（位置和姿态）。而“运动”是状态随时间的变化。如何描述这种变化呢？

速度与加速度：记录下刚体质心（即体坐标系原点）在不同时间点的位置，形成一条运动轨迹（如PPT中的红色曲线）。对这条轨迹（位置向量）关于时间进行一次微分，得到质心的速度；进行二次微分，得到质心的加速度 。
角速度与角加速度：类似地，通过对描述姿态的参数（我们稍后会详细介绍，如旋转矩阵）进行一次和二次微分，可以得到刚体的角速度和角加速度 。

3.1 补充：如何理解微分

图中曲线 f(x) 在 x0 处有一条切线，微分 dy 就基于这条切线来近似表示函数的变化
当 x 产生微小变化 △x 时，切线上对应的变化量就是 dy，它是对函数实际变化 △y 的近似
这种用切线的线性变化（微分 dy）“以直代曲” 来描述微小变化，正是微分的本质

因此，只要能精确描述刚体在任意时刻的几何状态（6个自由度），通过微分运算，就能掌握其完整的运动状态（速度、加速度、角速度、角加速度）。

4. 移动状态 - 位置向量 (Position Vector)

我们来更具体地量化描述移动。如前所述，我们在刚体（绿色椭圆）上建立了体坐标系 {B}（橘色），并在旁边设置了世界坐标系 {A} 。要描述移动，关键是追踪体坐标系 {B} 原点（通常设在质心）的位置 。

在三维空间中，这个向量有三个分量：，和 Pz。例如，上图中的例子向量 P = [10,3,3]，意味着体坐标系原点在世界坐标系 X轴上的投影距离是10，Y轴上是3，Z轴上也是3 。只要我们知道在任何时刻这三个分量的值，就能精确掌握刚体重心在空间中的位置。

4.1 关于向量的两种含义

表示空间中的一个点 (Position)：如我们刚才使用的位置向量，它定义了体坐标系原点（或质心）在世界坐标系中的绝对位置。
表示一个方向和大小 (Vector/Displacement)：向量也可以仅表示一个方向和大小，例如体坐标系 {B} 的三个主轴各自指向一个方向。描述这些方向是理解刚体转动的关键，我们将在下一部分详细讨论。