在 △ A B C \triangle ABC △ABC 中, A B < A C AB< AC AB<AC, 点 K K K, L L L, M M M 分别是边 B C BC BC, C A C A CA, A B AB AB 的中点. △ A B C \triangle ABC △ABC 的内切圆圆心为 I I I, 且与边 B C BC BC 相切于点 D D D. 直线 l l l 经过线段 I D ID ID 的中点且与 I K IK IK 垂直, 与直线 L M LM LM 交于点 P P P. 证明: ∠ P I A = 9 0 ∘ \angle P I A = 90^{\circ} ∠PIA=90∘.
(《高中数学联赛模拟试题精选》第18套)
证明:
设 l l l 交 I D ID ID 于点 T T T, 交 I K IK IK 于点 Q Q Q, 延长 D I DI DI 交 M L ML ML 于点 R R R.
显然 R R R, P P P, Q Q Q, I I I 四点共圆且 P I PI PI 为直径.
要证明 ∠ P I A = π 2 \angle PIA=\frac{\pi}{2} ∠PIA=2π, 只需证明 A I AI AI 切 ( R P Q ) (RPQ) (RPQ) 于点 I I I, 这等价于证明 ∠ R Q I = ∠ R I A \angle RQI=\angle RIA ∠RQI=∠RIA.
延长 D I DI DI 交内切圆于点 S S S. 设过 S S S 的 B C BC BC 的平行线分别交 A B AB AB, A C AC AC 于点 B ′ B' B′, C ′ C' C′. 设 A A A 在 B ′ C ′ B'C' B′C′ 和 B C BC BC 上的投影分别为点 H ′ H' H′, H H H. 设 D ′ D' D′ 为 ∠ B A C \angle BAC ∠BAC 内的旁切圆在 B C BC BC 上的切点.
显然 ∠ B ′ A C ′ ∼ △ A B C \angle B'AC' \sim \triangle ABC ∠B′AC′∼△ABC, ⊙ I \odot I ⊙I 是 △ A B ′ C ′ \triangle AB'C' △AB′C′ 的旁切圆, S S S 是其在 B ′ C ′ B'C' B′C′ 上的切点. 由此易知 S S S 和 D ′ D' D′ 是对应点, 进而可知 A A A, S S S, D ′ D' D′ 共线.
显然 I K / / S D ′ IK//SD' IK//SD′, 所以 ∠ D S D ′ = ∠ D I K \angle DSD'=\angle DIK ∠DSD′=∠DIK.
A S / I S = A S A H ′ A H ′ I S AS/IS = \frac{AS}{AH'} \frac{AH'}{IS} AS/IS=AH′ASISAH′.
I R / I Q = I R I T I T I Q IR/IQ = \frac{IR}{IT} \frac{IT}{IQ} IR/IQ=ITIRIQIT.
易知 A S A H ′ = I T I Q \frac{AS}{AH'} = \frac{IT}{IQ} AH′AS=IQIT.
A S A D ′ = A H ′ A H \frac{AS}{AD'} = \frac{AH'}{AH} AD′AS=AHAH′
I R I T = 1 2 A H − I D 1 2 I D = A H − 2 I D I D \frac{IR}{IT} = \frac{\frac{1}{2}AH-ID}{\frac{1}{2}ID}=\frac{AH-2ID}{ID} ITIR=21ID21AH−ID=IDAH−2ID
A H ′ I S = A H − 2 I D I D = I R I T \frac{AH'}{IS} = \frac{AH-2ID}{ID} = \frac{IR}{IT} ISAH′=IDAH−2ID=ITIR.
综上, △ A S I ∼ △ R I Q \triangle ASI \sim \triangle RIQ △ASI∼△RIQ. 由此可知 ∠ A I S = ∠ R Q I \angle AIS=\angle RQI ∠AIS=∠RQI.
证毕.
