一、简介

本文简单的介绍了 Physical Based Rendering, PBR 中的 Lambertian 材质漫反射BRDF公式$f{r}_{lambertian}=\frac{c_{diff}}{\pi }$的推导。

二、漫反射项

根据 渲染方程：
$$Lo(v)={\int }_{\Omega }fr(l,v)Li(l)\ast (n\cdot l)dl\text{\hspace{1em}(1)}$$
其中的 BRDF 函数 $fr(l,v)$ 定义如下：
$$fr(l,v)=k_d\ast f{r}_{lambert}(l,v)+k_s\ast f{r}_{specular}(l,v)\text{\hspace{1em}(2)}$$
其中$k_d$ 为漫反射的比例，$f{r}_{lambert}$为漫反射中的 BRDF 函数定义如下：
$$f{r}_{lambert}=\frac{c_{diff}}{\pi }\text{\hspace{1em}(3)}$$
其中 $c_{diff}$ 为描述材质属性的漫反射颜⾊（diffuse）$c_{diff}$ ，或者反照率（albedo） $\rho$。本文接下来介绍什么是 Lambertian 表面，为什么 Lambertian 材质的漫反射BRDF 公式如公式(3) 所示。

1. Lambert 表面

Lambertian 材质是指那种理想的完全漫反射表面，从任何观察方向看去，它反射的亮度都是一致的。即，不论外界的光照如何，Lambertian 材质满足以下公式：
$$Lo(v)={\int }_{\Omega }f{r}_{lambertian}(l,v)(n\cdot l)dl=L{o}_c\text{\hspace{1em}(4)}$$
不管视线向量 $v$ 如何变化（需要保证在材质的上半球内），其出射的 radiance $Lo(v)$ 恒等于定值 $L{o}_c$。

2. 漫反射公式解释

2.1 反照率 albedo

Lambertian BRDF 的恒定反射率通常被称为漫反射颜⾊（diffuse）$c_{diff}$ ，或者反照率（albedo） $\rho$。反照率$\rho$描述了目标表面反射的辐射通量${\Phi }_{out}$与入射的辐射通量${\Phi }_{in}$ 之比。定义如下：
$$c_{diff}=\rho =\frac{{\Phi }_{out}}{{\Phi }_{in}}\text{\hspace{1em}(5)}$$

2.2 能量守恒定律

根据能量守恒定理定律，应该有：
$$c_{diff}=\rho =\frac{{\Phi }_{out}}{{\Phi }_{in}}\le 1.0\text{\hspace{1em}(6)}$$

2.3 漫反射 BRDF 函数推导

接下来我们将基于以下假设和定义，推导得到 漫反射 BRDF 的渲染公式(3)。

2.3.1 已知信息

1. 漫反射BRDF满足渲染方程：$Lo(v)=\int f{r}_{lambertian}(l,v)\ast Li(l)\ast (n\cdot l)dl$。
2. 对于 Lambertian 材质，$f{r}_{lambertian}(l,v)$ 与 $v$ 和 $l$ 无关，即 $f{r}_{lambertian}(l,v)$ 是定值 $f{r}_c$ 。那么根据渲染方程，不管如何光照 $Li(l)$ 如何分布，任意出射方向的 $Lo(v)$ 也都相等。
3. 对于 Lambertian 材质，假设其没有自发光，满足能量守恒定理，即：$c_{diff}=\rho =\frac{{\Phi }_{out}}{{\Phi }_{in}}\le 1.0$。
4. 目标表面的入射/出射辐射通量/功率（Radiant flux/Power） ${\Phi }_{in}$、${\Phi }_{out}$ 的计算公式如下：
   $$\begin{gathered} {\Phi }_{int}={\int }_{\Omega }Li(l)\ast (n\cdot l)dldA \\ {\Phi }_{out}={\int }_{\Omega }Lo(v)\ast (n\cdot v)dvdA \end{gathered}$$
5. 假设目标表面为 Lambertian 材质，即只有漫反射，没有镜面反射也没有自发光。
6. 假设目标表面的面积为 $A$。
7. 假设目标表面的漫反射颜色（反照率）为 $c_{diff}$，即 $c_{diff}=\frac{{\Phi }_{out}}{{\Phi }_{in}}$。

接下来本文将根据以上已知信息推导目标 BRDF 函数 $f{r}_{lambertian}(l,v)=f{r}_c=?$：

2.3.2 推导过程

根据辐射通量/功率（Radiant flux/Power）$\Phi$ 的计算公式
$$\Phi ={\int }_{\Omega }L(w)\ast (n\cdot w)dwdA$$
可以得到目标表面的总出射辐射通量 ${\Phi }_{out}$ 为
$$\begin{gathered} {\Phi }_{out}={\int }_{\Omega }Lo(v)\ast (n\cdot v)dvdA \\ ={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\pi /2}Lo(v)\ast cos(\theta )\ast sin(\theta )d\theta d\varphi dA \end{gathered}$$
又因为对于 Lambertian 材质，任意出射方向的 $Lo(v)$ 都相等，并且目标表面的面积为 $A$，因此有：
$$\begin{gathered} {\Phi }_{out}={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\pi /2}Lo(v)\ast cos(\theta )\ast sin(\theta )d\theta d\varphi dA \\ ={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\pi /2}L{o}_c\ast cos(\theta )\ast sin(\theta )d\theta d\varphi dA \\ =L{o}_c\ast {\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\pi /2}cos(\theta )\ast sin(\theta )d\theta d\varphi \ast A \\ =L{o}_c\ast \pi \ast A\text{\hspace{1em}(7)} \end{gathered}$$
那么
$$L{o}_c=\frac{{\Phi }_{out}}{\pi \ast A}\text{\hspace{1em}(8)}$$
同理可以得到目标表面的总入射辐射通量${\Phi }_{in}$为：
$$\begin{gathered} {\Phi }_{in}={\int }_{\Omega }Li(l)\ast (n\cdot l)dldA \\ ={\int }_{\Omega }Li(l)\ast (n\cdot l)dl\ast A\text{\hspace{1em}(9)} \end{gathered}$$
那么就有：
$$\frac{{\Phi }_{in}}{A}={\int }_{\Omega }Li(l)\ast (n\cdot l)dl\text{\hspace{1em}(10)}$$
根据渲染方程，我们可以得到：
$$L{o}_c=Lo(v)={\int }_{\Omega }f{r}_{lambertian}(l,v)\ast Li(l)\ast (n\cdot l)dl$$
因为 $f{r}_{lambertian}(l,v)$ 为定值 $f{r}_c$ ，那么就有：
$$\begin{gathered} L{o}_c=Lo(v)={\int }_{\Omega }f{r}_{lambertian}(l,v)\ast Li(l)\ast (n\cdot l)dl \\ =f{r}_c\ast {\int }_{\Omega }Li(l)\ast (n\cdot l)dl\text{\hspace{1em}(11)} \end{gathered}$$
将公式(10)代入公式(11)可以得到：
$$\begin{gathered} L{o}_c=Lo(v)=f{r}_c\ast {\int }_{\Omega }Li(l)\ast (n\cdot l)dl \\ =f{r}_c\ast \frac{{\Phi }_{in}}{A}\text{\hspace{1em}(12)} \end{gathered}$$
又因为根据公式(8)，$L{o}_c={\Phi }_{out}/(\pi \ast A)$，那么
$$L{o}_c=f{r}_c\ast \frac{{\Phi }_{in}}{A}=\frac{{\Phi }_{out}}{\pi \ast A}\text{\hspace{1em}(13)}$$
又因为$c_{diff}={\Phi }_{out}/{\Phi }_{in}$，那么可以得到：
$$f{r}_c=\frac{{\Phi }_{out}}{\pi \ast {\Phi }_{in}}=\frac{c_{diff}}{\pi }\text{\hspace{1em}(14)}$$
即：
$$f{r}_{Lambertian}(l,v)=f{r}_c=\frac{{\Phi }_{out}}{\pi \ast {\Phi }_{in}}=\frac{c_{diff}}{\pi }\text{\hspace{1em}(14)}$$
至此，我们得到了 Lambertian 材质的 漫反射 BRDF 公式 $f{r}_{lambertian}(l,v)=\frac{c_{diff}}{\pi }$.

三、参考引用

[1].Real-Time Rendering, 4th Edition-Chapter 9 Physically Based Shading
[2].Background: Physics and Math of Shading