进阶篇 第 2 篇：自相关性深度解析 - ACF 与 PACF 图完全指南
(图片来源: Negative Space on Pexels)
欢迎来到进阶系列的第二篇！在上一篇，我们探讨了更高级的时间序列分解技术和强大的指数平滑 (ETS) 预测模型。ETS 模型通过巧妙的加权平均捕捉了序列的演变。然而，还有另一大类经典模型——ARIMA 家族，它们直接对序列的自相关性 (Autocorrelation) 进行建模。
要深入理解并有效使用 ARIMA 模型，我们必须成为解读序列“内部记忆”的专家。而揭示这种记忆的关键工具，就是我们曾在入门篇初步接触过的自相关函数 (ACF) 和偏自相关函数 (PACF) 图。
本篇，我们将对 ACF 和 PACF 进行一次深度解析：
- 温故知新： 为什么先要关注平稳性？
- ACF 深度解读： 它真正告诉我们什么？MA(q) 过程的典型模式。
- PACF 深度解读： 为何需要它？AR§ 过程的典型模式。
- 结合运用： 如何利用 ACF/PACF 图识别潜在的 ARMA(p,q) 结构？
- 实战演练： 使用 Python 绘制并解读 ACF/PACF 图。
掌握 ACF/PACF 的精髓，是解锁 ARIMA 模型强大能力的前提。
温故知新：为何先要平稳？
在深入研究 ACF/PACF 之前，必须再次强调平稳性的重要性。
- ACF/PACF 的前提： ACF 和 PACF 分析的是序列与其滞后项之间的相关性结构。这种结构只有在序列的统计特性（均值、方差）稳定时才有意义且易于解读。
- 非平稳序列的 ACF： 如果一个序列包含趋势或强季节性（即非平稳），它的 ACF 图通常会显示出非常缓慢的衰减。许多滞后项的相关系数都会很高，并缓慢地趋向于零。这种缓慢衰减的 ACF 模式本身就强烈暗示了非平稳性，它会掩盖掉序列可能存在的短期自相关结构。
结论： 在使用 ACF/PACF 图来识别潜在的 ARMA 模型结构之前，务必先确保你的时间序列是平稳的（通过检验和必要的差分处理）。我们分析的是平稳化后序列的 ACF/PACF 图。
ACF (自相关函数) 深度解读
ACF (Autocorrelation Function) 衡量的是时间序列 y(t) 与其自身滞后值 y(t-k) 之间的相关系数。它回答的问题是：“当前值与 k 期前的值有多相关？”
- 包含间接影响： ACF 包含了所有滞后项的直接和间接影响。例如，
y(t)与y(t-2)的相关性可能部分是通过y(t-1)这个中间环节传递的。ACF 度量的是总体相关性。 - MA(q) 过程的特征：
- 一个移动平均 (Moving Average) MA(q) 过程定义为：
y(t) = μ + ε(t) + θ₁ε(t-1) + ... + θ<0xE1><0xB5><0x97>ε(t-q)，其中ε是白噪声（误差项）。 - 关键特性：
y(t)的值仅依赖于当前和过去 q 个误差项。 - ACF 表现： 因此，
y(t)只会与y(t-1), y(t-2), ..., y(t-q)相关（因为它们共享部分误差项）。当滞后阶数k > q时，y(t)和y(t-k)将不再共享任何共同的误差项，理论上它们的自相关系数为 0。 - 图形模式： MA(q) 过程的 ACF 图会在滞后 q 阶之后突然截断 (Cuts off)，变为 0（在实际图形中，是在置信区间内波动）。
- 一个移动平均 (Moving Average) MA(q) 过程定义为：
PACF (偏自相关函数) 深度解读
如果 ACF 包含了间接影响，那我们如何衡量 y(t) 和 y(t-k) 之间纯粹的、直接的相关性，即排除了中间滞后项 y(t-1), ..., y(t-k+1) 的影响之后的相关性？这就是 PACF (Partial Autocorrelation Function) 要解决的问题。
-
AR§ 过程的特征：
- 一个自回归 (AutoRegressive) AR§ 过程定义为：
y(t) = c + φ₁y(t-1) + φ₂y(t-2) + ... + φ<0xE1><0xB5><0xBD>y(t-p) + ε(t)。 - 关键特性：
y(t)的值直接依赖于过去 p 个自身的观测值。y(t)对y(t-k)(当 k > p 时) 的依赖关系完全是通过中间的p个值传递的。 - PACF 表现： 一旦我们移除了
y(t-1)到y(t-p)的影响（这正是 PACF 所做的），y(t)与y(t-k)(k > p) 之间的偏自相关系数理论上就为 0。 - 图形模式： AR§ 过程的 PACF 图会在滞后 p 阶之后突然截断 (Cuts off)。
- 一个自回归 (AutoRegressive) AR§ 过程定义为：
-
对比 ACF： AR§ 过程的 ACF 通常是拖尾 (Tails off) 的，即它会按指数或正弦波形式缓慢衰减，而不是截断。这是因为
y(t)通过y(t-1)与y(t-2)相关，通过y(t-2)与y(t-3)相关，等等，这种影响会传递下去。
结合运用：识别 ARMA(p,q) 模式
现在我们有了识别纯 AR§ 和纯 MA(q) 过程的利器：
- MA(q) 过程： ACF 在 q 阶截尾，PACF 拖尾。
- AR§ 过程： ACF 拖尾，PACF 在 p 阶截尾。
那如果一个过程同时具有 AR 和 MA 的特性，即 ARMA(p,q) 过程呢？
- ARMA(p,q) 过程的特征：
y(t)同时依赖于过去的观测值和过去的误差项。 - ACF/PACF 表现： 通常，ARMA(p,q) 过程的 ACF 和 PACF 图都会表现出拖尾（按指数或正弦波形式衰减）。识别具体的 p 和 q 值会比纯 AR 或纯 MA 过程更困难，需要更多经验或借助信息准则（如 AIC/BIC，我们将在下一篇讨论）。
模型识别速查表 (基于平稳序列):
| 模型 | ACF 图模式 | PACF 图模式 |
|---|---|---|
| AR§ | 拖尾 (Tails off) | p 阶截尾 (Cuts off at p) |
| MA(q) | q 阶截尾 (Cuts off at q) | 拖尾 (Tails off) |
| ARMA(p,q) | 拖尾 (Tails off) | 拖尾 (Tails off) |
实战演练：Python 绘制与解读
让我们用 statsmodels 库来实际绘制和解读 ACF/PACF 图。
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
import statsmodels.api as sm
from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf, plot_pacf
from statsmodels.tsa.arima_process import ArmaProcess
# 设置绘图风格
plt.style.use('seaborn-v0_8-whitegrid')
# --- 1. 模拟 MA(1) 过程 ---
# y(t) = ε(t) + 0.7 * ε(t-1)
ma1_process = ArmaProcess(ma=[1, 0.7]) # 注意 ArmaProcess 的 ma 参数包含 lag 0 (系数为1)
ma1_data = ma1_process.generate_sample(nsample=500)
fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(14, 5))
plot_acf(ma1_data, ax=axes[0], lags=20, title='MA(1) Process ACF')
plot_pacf(ma1_data, ax=axes[1], lags=20, title='MA(1) Process PACF', method='ywm') # 'ywm' is often stable
axes[0].set_ylim(-1.1, 1.1) # 统一 y 轴范围
axes[1].set_ylim(-1.1, 1.1)
plt.suptitle('ACF and PACF for Simulated MA(1) Data', fontsize=16)
plt.tight_layout(rect=[0, 0.03, 1, 0.95]) # 调整布局防止标题重叠
plt.show()
# --- 2. 模拟 AR(2) 过程 ---
# y(t) = 0.8 * y(t-1) - 0.5 * y(t-2) + ε(t)
ar2_process = ArmaProcess(ar=[1, -0.8, 0.5]) # 注意 ar 参数包含 lag 0 (系数为1), 符号与公式相反
ar2_data = ar2_process.generate_sample(nsample=500)
fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(14, 5))
plot_acf(ar2_data, ax=axes[0], lags=20, title='AR(2) Process ACF')
plot_pacf(ar2_data, ax=axes[1], lags=20, title='AR(2) Process PACF', method='ywm')
axes[0].set_ylim(-1.1, 1.1)
axes[1].set_ylim(-1.1, 1.1)
plt.suptitle('ACF and PACF for Simulated AR(2) Data', fontsize=16)
plt.tight_layout(rect=[0, 0.03, 1, 0.95])
plt.show()
# --- 3. 应用于真实数据 (示例：对 CO2 数据的一阶差分) ---
# 加载并差分数据 (确保已平稳化)
co2_data = sm.datasets.co2.load_pandas().data['co2']
co2_data = co2_data.interpolate().resample('M').mean()
co2_diff = co2_data.diff().dropna() # 一阶差分使其近似平稳
print("\n--- Analyzing Differenced CO2 Data ---")
# 检验平稳性 (可选，但推荐)
adf_test = sm.tsa.stattools.adfuller(co2_diff)
print(f'ADF Statistic: {adf_test[0]:.3f}')
print(f'p-value: {adf_test[1]:.3f}') # p-value 应该很小
fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(14, 5))
plot_acf(co2_diff, ax=axes[0], lags=40, title='Differenced CO2 ACF') # 观察季节性周期 (lag 12, 24...)
plot_pacf(co2_diff, ax=axes[1], lags=40, title='Differenced CO2 PACF', method='ywm')
axes[0].set_ylim(-1.1, 1.1)
axes[1].set_ylim(-1.1, 1.1)
plt.suptitle('ACF and PACF for Differenced Monthly CO2 Data', fontsize=16)
plt.tight_layout(rect=[0, 0.03, 1, 0.95])
plt.show()
解读要点：
- 模拟 MA(1): 观察其 ACF 是否在 lag=1 后截尾，而 PACF 是否拖尾。
- 模拟 AR(2): 观察其 PACF 是否在 lag=2 后截尾，而 ACF 是否拖尾。
- 真实数据 (差分 CO2):
- 真实数据的图形通常不会像模拟数据那样完美“干净”。会有噪声。
- 重点观察是否有明显的截尾或清晰的拖尾模式。
- 注意置信区间（通常是蓝色区域）：只有显著超出置信区间的柱状图才被认为是统计上显著不为零的。
- 对于 CO2 差分数据，你可能会看到 ACF 在 lag=1 处显著，然后在 lag=12, 24 等季节性位置再次显著，暗示可能需要季节性模型 (SARIMA)。PACF 可能也在早期滞后和季节性滞后处显著。这表明真实数据的模式识别可能比理论更复杂。
注意事项与最佳实践
- 平稳性优先！ 重复强调，分析前确保数据平稳。
- 图形是向导，非圣经： ACF/PACF 图提供了关于模型结构的线索，但不是绝对的规则，尤其对于混合的 ARMA 过程或有噪声的真实数据。
- 关注置信区间： 不要过度解读在置信区间内的小波动。
- 模式可能模糊： 有时图形模式并不清晰，可能指向多个候选模型。
- 结合信息准则： ACF/PACF 图通常用于初步定阶，最终的模型选择往往需要结合 AIC/BIC 等信息准则（下一篇内容）以及模型诊断。
总结与下一步
通过本次深度解析，我们掌握了如何更精细地解读 ACF 和 PACF 图，理解了它们与 AR§ 和 MA(q) 过程的内在联系。这为我们识别（平稳）时间序列的潜在结构，特别是为下一篇的 ARIMA 模型定阶打下了坚实的基础。
ACF/PACF 图是时间序列分析师工具箱中的瑞士军刀，熟练运用它们将极大提升你对序列动态的洞察力。
下一篇预告：
准备好将今天的知识付诸实践了吗？下一篇，我们将正式进入 ARIMA 模型的世界，学习如何利用 ACF/PACF 图进行模型识别（定阶 p, q），如何估计模型参数，如何进行模型诊断，并最终用它来进行预测！
敬请期待！
（尝试用不同的 AR 和 MA 参数模拟数据，观察 ACF/PACF 图的变化。你手中的其他平稳时间序列数据呈现出怎样的 ACF/PACF 模式？欢迎在评论区分享你的观察！）
