机器学习（5）——支持向量机

news2025/7/17 5:55:39

1. 支持向量机（SVM）是什么？

支持向量机（SVM，Support Vector Machine）是一种监督学习算法，广泛应用于分类和回归问题，尤其适用于高维数据的分类。其核心思想是寻找最优分类超平面，使得不同类别的样本间隔（Margin）最大化，从而提高模型的泛化能力。

2. SVM的基本原理

2.1. 核心思想

目标： 在特征空间中找到一个超平面（决策边界），使得两类样本的间隔最大化。
关键概念：
- 支持向量（Support Vectors）： 距离超平面最近的样本点，决定超平面的位置。这些点在定义分类边界时起着至关重要的作用，因此称为“支持向量”
- 间隔（Margin）： 支持向量到超平面的距离，越大表示分类器鲁棒性越强。SVM通过最大化这个间隔来选择最佳超平面。

3. 线性可分和非线性可分

线性可分： 如果数据可以通过一个直线（二维空间）或超平面（高维空间）分开，则称数据是线性可分的。在这种情况下，SVM能够找到一个线性决策边界。
非线性可分： 当数据不是线性可分时，我们可以通过核函数将数据映射到更高维的空间，使得在这个高维空间中数据变得线性可分。这个过程称为核技巧。

4. SVM的数学基础

4.1. 线性可分情况（硬间隔 SVM）

4.1.1. 间隔最大化

在二维空间中，我们用一个线性决策边界（直线）来将数据分开。假设数据点可以被线性分开，则可以表示为：
$w \cdot x + b = 0$
其中：
- $w$ 是法向量，决定超平面的方向。
- $b$ 是偏置项，控制超平面与原点的距离。
- $x$ 是数据点。
目标是找到一个决策边界，使得不同类别的数据点到该边界的距离尽量远。最大化间隔可以转化为如下的优化问题：

$\frac{2}{\|w\|}$

其中， $\|w\|$ 是法向量的范数，优化的目标是使这个范数最小化，从而间隔最大化。

4.1.2. SVM 的优化目标

假设数据线性可分，SVM 的优化目标是：
$\ 等价于 \ 最小化 \frac {1}{2}\|w\|^2$
约束条件： $y_i(w^T x_i + b) \geq 1, \quad \forall i$
其中
- $w$ ：是法向量。
- $b$ ：是偏置项。
- $y_i∈{−1,+1}$ ：样本标签。
几何解释：
- 超平面方程： $w^Tx+b=0$ 。
- 支持向量满足 $y_i(w ^Tx_i +b)=1$ 。

3. 线性不可分情况（软间隔 SVM）

当数据存在噪声或轻微重叠时，引入松弛变量（Slack Variables） $\xi_i≥0$ ，允许部分样本违反约束：
$\ 等价于 \min \frac{1}{2} \|w\|^2 + C \sum_{i=1}^{N} \xi_i$

$\xi_i$ 是松弛变量，表示第 $i$ 个样本点与分类边界的偏差。

约束条件：
$y_i(w^T x_i + b) \geq 1 - \xi_i, \xi_i≥0$

参数 $C$ ：控制分类严格性：
- $C$ 大 → 更严格（可能过拟合）。
- $C$ 小 → 允许更多错误（提高泛化性）。

4. 非线性 SVM（核方法）

当数据非线性可分时，通过核函数（Kernel）将数据映射到高维空间，使其线性可分。

常用核函数

线性核（无映射）：
$K(x_i, x_j) = x_i^T x_j$
线性核（无映射）：
$K(x_i, x_j) = (x_i^T x_j + c)^d$
高斯核（RBF）（最常用）：
$K(x_i, x_j) = \exp \left( -\frac{\|x_i - x_j\|^2}{2\sigma^2} \right)$
- σ 控制样本间影响范围（小 → 过拟合，大 → 欠拟合）。
Sigmoid 核：
$K(x_i, x_j) = \tanh(\alpha x_i^T x_j + c)$

核技巧（Kernel Trick）

无需显式计算高维映射 $ϕ (x)$ ，直接通过核函数计算内积：
$\phi(x_i)^T \phi(x_j) = K(x_i, x_j)$

5. 优化方法（对偶问题）

原始问题转化为拉格朗日对偶问题，通过求解：
$\max_{\alpha} \sum_{i=1}^{n} \alpha_i - \frac{1}{2} \sum_{i,j} \alpha_i \alpha_j y_i y_j K(x_i, x_j)$
约束：
$\sum_{i=1}^{n} \alpha_i y_i = 0, \quad 0 \leq \alpha_i \leq C$

$α_i$ ：拉格朗日乘子，非零 $α_i$ 对应支持向量。

最终决策函数：
$\text{sign} \left( \sum_{i \in SV} \alpha_i y_i K(x_i, x) + b \right)$

6. 优缺点

✅ 优点
- 高维数据有效（尤其适合文本、图像）。
- 核方法处理非线性问题。
- 泛化能力强（最大化间隔）。
- 对过拟合有一定鲁棒性（通过 $C$ 控制）。
❌ 缺点
- 计算复杂度高（训练时间随样本数增长）。
- 对参数（ $C$ 、核参数）敏感。
- 不直接提供概率输出（需额外校准）。

7. Python 示例（Scikit-learn）

7.1. 线性 SVM

from sklearn.svm import SVC
from sklearn.datasets import load_iris
from sklearn.model_selection import train_test_split

# 加载数据
X, y = load_iris(return_X_y=True)
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2)

# 训练线性SVM（C=1.0）
model = SVC(kernel='linear', C=1.0)
model.fit(X_train, y_train)

# 评估
print("Accuracy:", model.score(X_test, y_test))

7.2. 非线性 SVM（RBF 核）

from sklearn.svm import SVC
from sklearn.preprocessing import StandardScaler

# 标准化数据
scaler = StandardScaler()
X_train_scaled = scaler.fit_transform(X_train)
X_test_scaled = scaler.transform(X_test)

# 训练RBF核SVM（C=1.0, gamma='scale'）
model = SVC(kernel='rbf', C=1.0, gamma='scale')
model.fit(X_train_scaled, y_train)

# 预测
print("Accuracy:", model.score(X_test_scaled, y_test))

7.3. 支持向量可视化

import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.inspection import DecisionBoundaryDisplay

# 仅用前两特征简化可视化
X_2d = X[:, :2]
model = SVC(kernel='linear').fit(X_2d, y)

disp = DecisionBoundaryDisplay.from_estimator(
    model, X_2d, response_method="predict",
    plot_method="pcolormesh", alpha=0.3,
)
plt.scatter(X_2d[:, 0], X_2d[:, 1], c=y, edgecolor='k')
plt.title("SVM Decision Boundary")
plt.show()