题目
给定一个二叉树的根节点 root ，和一个整数 targetSum ，求该二叉树里节点值之和等于 targetSum 的 路径 的数目。
路径 不需要从根节点开始，也不需要在叶子节点结束，但是路径方向必须是向下的（只能从父节点到子节点）。
一、代码实现（双重递归法）
func pathSum(root *TreeNode, targetSum int) int {
if root == nil {
return 0
}
// 计算以当前节点为起点的路径数 + 左右子树的路径数
return dfs(root, targetSum) +
pathSum(root.Left, targetSum) +
pathSum(root.Right, targetSum)
}
func dfs(node *TreeNode, remain int) int {
if node == nil {
return 0
}
count := 0
if node.Val == remain {
count++
}
// 递归处理左右子树，更新剩余目标值
count += dfs(node.Left, remain - node.Val)
count += dfs(node.Right, remain - node.Val)
return count
}
二、算法分析（递归法）
1. 核心思路
- 双重递归结构：外层递归遍历所有节点作为路径起点，内层递归计算以该节点为起点的路径数目
- 暴力穷举：对每个节点及其子树进行深度优先搜索，统计符合条件的路径
2. 关键步骤
- 外层递归：遍历每个节点作为可能的路径起点
- 内层递归：以当前节点为起点，向下搜索满足
sum=targetSum的路径 - 终止条件：空节点返回0，当前节点值等于剩余值时计数+1
- 状态传递：将剩余值
remain - node.Val传递给子树
3. 复杂度
| 指标 | 值 | 说明 |
|---|---|---|
| 时间复杂度 | O(n²) | 每个节点触发一次O(n)的子树遍历 |
| 空间复杂度 | O(h) | h为树高度（递归栈空间） |
三、代码实现（前缀和优化法）
func pathSum(root *TreeNode, targetSum int) int {
prefixSum := make(map[int]int)
prefixSum[0] = 1 // 处理根节点自身满足条件的情况
return dfs(root, 0, targetSum, prefixSum)
}
func dfs(node *TreeNode, currSum int, target int, prefixSum map[int]int) int {
if node == nil {
return 0
}
currSum += node.Val
count := prefixSum[currSum - target]
prefixSum[currSum]++
count += dfs(node.Left, currSum, target, prefixSum)
count += dfs(node.Right, currSum, target, prefixSum)
prefixSum[currSum]-- // 回溯
return count
}
四、算法分析（前缀和法）
1. 核心思路
- 前缀和哈希表：记录从根节点到当前节点的路径和出现次数
- 数学关系：若存在
currSum - target = oldSum，则oldSum -> currSum的路径和为target
2. 关键步骤
- 初始化哈希表：预存
prefixSum[0]=1处理根节点自身满足条件的情况 - 更新当前和：累加节点值到
currSum - 查询差值：计算
currSum - target的出现次数 - 回溯操作：维护哈希表状态避免子树间的干扰
3. 复杂度
| 指标 | 值 | 说明 |
|---|---|---|
| 时间复杂度 | O(n) | 单次遍历所有节点 |
| 空间复杂度 | O(n) | 哈希表存储n个节点的前缀和 |
五、图解示例
以root = [10,5,-3,3,2,null,11], targetSum=8为例：
10
/ \
5 -3
/ \ \
3 2 11
前缀和法流程：
- 路径
10→5→3：和为18 → 18-8=10（无记录） - 路径
10→5→2：和为17 → 17-8=9（无记录） - 路径
10→5：和为15 → 15-8=7（无记录） - 路径
10→-3→11：和为18 → 18-8=10（命中初始0）
最终计数：3（路径5→3、路径5→2→1、路径-3→11）
六、边界条件与扩展
1. 特殊场景验证
- 空树：返回0
- 负数和零：如
root = [-2,null,-3], target=-5→ 返回1 - 重复路径：多节点值相同的情况需正确计数
2. 扩展应用
- 多条件路径统计：同时满足和值与节点数限制
- 动态目标值：支持实时修改targetSum的在线查询
- 路径回溯：记录具体路径而非仅计数（需维护路径栈）
七、总结与优化方向
1. 方法对比
| 方法 | 优势 | 劣势 | 适用场景 |
|---|---|---|---|
| 双重递归 | 实现简单 | 时间复杂度高 | 小规模树(n<1000) |
| 前缀和 | 线性时间复杂度 | 需要维护哈希表状态 | 大规模树 |
2. 工程优化
- 并行计算：对左右子树进行并发遍历（Go协程）
- 内存预分配：根据树高度预判哈希表容量
- 数值溢出处理：使用int64存储累加和
3. 算法扩展
- K路径问题：统计和值为targetSum的TopK最长路径
- 三维路径：推广到三叉树等复杂结构
- 流式处理：支持无法完整加载内存的超大树结构
