其实这个完全背包的步骤和01背包也是差不多滴,不过他有一些优化是我们必须要说一说的
老样子,我们先定义一下状态表示
step1: f[i][j]表示从1到i个物品里选出体积不超过j的最大价值
step2:状态转移方程
写成一行就是
我们再写一下f[i][j-v[i]]的表达式
可以推出f[i][j]其实就是等于max(f[i-1][j],f[i][j-v[i]+w[i])
这就是我们优化后的状态转移方程,很简单
step3:初始化,全部初始化为0
step4:结果就存在f[n][V]里
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n,V;
int v[N],w[N];
int f[N][N];
int main()
{
cin >> n >> V;
for(int i = 1;i<=n;i++)
{
cin >> v[i] >> w[i];
}
for(int i = 1;i<=n;i++)
{
for(int j = 0;j<=V;j++)
{
f[i][j] = f[i-1][j];
if(j>=v[i])
{
f[i][j] = max(f[i][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);
}
}
}
cout << f[n][V] << endl;
return 0;
}
嗯,我们还需要想一想这个代码怎么进行空间优化可以看到,我们更新一维数组的时候,我们需要当前位置和左边位置的元素,所以我们必须得先把左边位置更新出来才行,所以我们必须从左往右更新才正确
优化代码
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n,V;
int v[N],w[N];
int f[N];
int main()
{
cin >> n >> V;
for(int i = 1;i<=n;i++)
{
cin >> v[i] >> w[i];
}
for(int i = 1;i<=n;i++)
{
for(int j = v[i];j<=V;j++)
{
f[j] = max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
}
}
cout << f[V];
return 0;
}
好的好的,那我们来继续做一下第二问
step1:定义状态表示 f[i][j]表示的是从1到i个物品里选出恰好体积为j的物品的最大价值
step2:定义状态表示,和上面的一样
step3:初始化,全部初始化为负无穷,因为我们要用到max,不能让坏值影响我们的推导
并单独把f[0][0]设置为0
step4:答案如果存在的话就存在f[n][V]
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int INF = -0x3f3f3f3f;
const int N = 1010;
int n,V;
int v[N],w[N];
int f[N];
int main()
{
cin >> n >> V;
memset(f,-0x3f3f3f3f,sizeof(f));
for(int i = 1;i<=n;i++)
{
cin >> v[i] >> w[i];
}
f[0] = 0;
for(int i = 1;i<=n;i++)
{
for(int j = v[i];j<=V;j++)
{
f[j] = max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
}
}
if(f[V]<0) cout << 0 << endl;
else cout << f[V] << endl;
return 0;
}