408答疑

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二、图的存储

图的存储相关概念

• 图的存储必须要完整、准确地反映顶点集和边集的信息。
• 根据不同图的结构和算法，采用不同的存储方式将对程序的效率产生相当大的影响，因此所选的存储结构应适合于待求解的问题。

邻接矩阵存储方式

邻接矩阵的定义

对于顶点数为 $n$ 的图 $G=(V,E)$，其邻接矩阵 $A$ 是 $n\times n$ 的二维数组。邻接矩阵存储方式通过二维数组表示图的结构：

1. 顶点信息：使用一维数组存储图中所有顶点的信息。
2. 边信息：使用二维数组（邻接矩阵）存储顶点之间的邻接关系。

若顶点编号为 $v_1,v_2,\cdots ,v_n$，则矩阵元素定义为：

• 普通图（无权重）：
  $$A[i][j]=\{\begin{array}{ll}1,& \text{若存在边 (vi,vj) 或 <vi,vj>}\\ 0,& \text{否则}\end{array}$$
• 有向图的邻接矩阵中，非对称元素表示单向边。
• 无向图的邻接矩阵为对称矩阵。
  
• 带权图（网）：
  $$A[i][j]=\{\begin{array}{ll}{w}_{ij},& \text{若存在边 (vi,vj) 或 <vi,vj>}\\ 0\text{ 或 }\infty ,& \text{否则（通常对角线元素用 0 表示）}\end{array}$$
• 网的邻接矩阵中，非零元素表示边的权值，$0$ 或 $\infty$ 表示无边。
  

顶点的度计算

1. 无向图：顶点 $v_i$ 的度 $\text{TD}(v_i)$ 等于邻接矩阵第 $i$ 行（或第 $i$ 列）非零元素个数。
2. 有向图：
   • 出度 $\text{OD}(v_i)$：第 $i$ 行非零元素个数。
   • 入度 $\text{ID}(v_i)$：第 $i$ 列非零元素个数。

邻接矩阵的特点

1. 有向图与无向图的区别：
   • 有向图的邻接矩阵可能不对称。
   • 无向图的邻接矩阵是对称矩阵。
2. 空间复杂度：顶点数为 $n$ 时，邻接矩阵的空间复杂度为 $O(n^2)$，适合稠密图。
3. 二维数组的行和列对应顶点的编号，矩阵元素表示顶点间的连接关系。
   • 例如，矩阵中第 $i$ 行第 $j$ 列的值表示顶点 $v_i$ 到 $v_j$ 是否存在边或边的权重。
4. 邻接矩阵的遍历时间复杂度：基于邻接矩阵的遍历（如DFS、BFS）时间复杂度为 $O(n^2)$。

邻接矩阵的局限性

• 边数统计：需遍历整个矩阵，时间复杂度为 $O(n^2)$。
• 稀疏图效率低：存储大量 $0$ 或 $\infty$ 元素浪费空间。

应用场景

• 邻接矩阵便于快速判断顶点间的邻接关系（时间复杂度 $O(1)$）。
• 适合需要频繁查询边存在的场景，但对稀疏图存储效率较低。

邻接矩阵的幂次意义（了解即可）

• 设邻接矩阵为 $A$，则 $A^n[i][j]$ 表示顶点 $i$ 到 $j$ 的长度为 $n$ 的路径数目。

邻接表存储方式

邻接表定义

• 邻接表是数组和链表的结合存储操作。
• 数组存放的是顶点，链表的结点表示边。

邻接表结构

• 顶点表结点由两个域组成：

  • 顶点域（data）：存储顶点 $v_i$ 的相关信息。
  • 边表头指针域（firstarc）：指向第一条边的边表结点。
    

• 边表结点至少由两个域组成：

  • 邻接点域（adjvex）：存储与头结点顶点 $v_i$ 邻接的顶点编号。
  • 指针域（nextarc）：指向下一条边的边表结点。
    

• 无向图和有向图的邻接表的实例
  
  

邻接表的特点

1. 存储空间：
   • 若 $G$ 为无向图，则所需的存储空间为 $O(|V|+2|E|)$；
   • 若 $G$ 为有向图，则所需的存储空间为 $O(|V|+|E|)$。
2. 稀疏图的存储：
   • 对于稀疏图（即边数较少的图），采用邻接表表示将极大地节省存储空间。
3. 操作效率：
   • 在邻接表中，给定一个顶点，能很容易地找出它的所有邻边，因为只需要读取它的邻接表。
   • 在邻接矩阵中，相同的操作则需要扫描一行，花费的时间为 $O(n)$。但是，若要确定给定的两个顶点间是否存在边，则在邻接矩阵中可以立刻查到，而在邻接表中则需要在相应结点对应的边表中查找另一结点，效率较低。
4. 顶点的度：
   • 在无向图的邻接表中，求某个顶点的度只需计算其邻接表中的边表结点个数。
   • 在有向图的邻接表中，求某个顶点的出度只需计算其邻接表中的边表结点个数；但求某个顶点 $x$ 的入度则需遍历全部的邻接表，统计邻接点（adjvex）域为 $x$ 的边表结点个数。
5. 邻接表的唯一性：
   • 图的邻接表表示并不唯一，因为在每个顶点对应的边表中，各边结点的链接次序可以是任意的，它取决于建立邻接表的算法及边的输入次序。

邻接矩阵和邻接表的适用性差异

• 对于稀疏图，邻接表法比邻接矩阵法更节省存储空间。
• 在邻接表中，给定顶点查找其所有邻边的效率较高，但在邻接矩阵中，确定两个顶点间是否存在边的效率更高。

十字链表

十字链表定义

• 十字链表是针对有向图的一种链式存储结构。
• 在十字链表中，有向图的每条弧用一个结点（弧结点）来表示，每个顶点也用一个结点（顶点结点）来表示。

十字链表结构

• 弧结点：

  • 有 5 个域：tailvex、headvex、hlink、tlink、info。
    • tailvex 和 headvex 两个域分别指示弧尾和弧头这两个顶点的编号。
    • hlink 指向弧头相同的下一个弧结点。
    • tlink 指向弧尾相同的下一个弧结点。
    • info 存放该弧的相关信息。
  • 弧头相同的弧在同一个链表上，弧尾相同的弧也在同一个链表上。
    

• 顶点结点：

  • 有 3 个域：data、firstin、firstout。
    • data 域存放该顶点的数据信息，如顶点名称。
    • firstin 域指向以该顶点为弧头的第一个弧结点。
    • firstout 域指向以该顶点为弧尾的第一个弧结点。

• 顶点结点之间是顺序存储的，弧结点省略了 info 域。
  

十字链表的特点

• 在十字链表中，既容易找到 $V_i$ 为尾的弧，也容易找到 $V_i$ 为头的弧，因而容易求得顶点的出度和入度。
• 图的十字链表表示不是唯一的，但一个十字链表表示唯一确定一个图。

十字链表的适用性

• 十字链表适合用于有向图的存储，能够有效地表示和操作有向图的边和顶点。

邻接多重表

邻接多重表定义

• 邻接多重表是无向图的一种链式存储结构。
• 在邻接表中，容易求得顶点和边的各种信息，但在邻接表中求两个顶点之间是否存在边而对边执行删除等操作时，需要分别在两个顶点的边表中遍历，效率较低。

邻接多重表结构

• 每条边用一个结点表示，其结构如下所示：
  • ivex 和 jvex 这两个域指示该边依附的两个顶点的编号；
  • ilink 域指向下一条依附于顶点 ivex 的边；
  • jlink 域指向下一条依附于顶点 jvex 的边；
  • info 域存放该边的相关信息。

• 每个顶点也用一个结点表示，它由两个域组成：
  • data 域存放该顶点的相关信息；
  • firstedge 域指向第一条依附于该顶点的边。

• 邻接多重表的各种基本操作的实现和邻接表类似。
  

邻接多重表的特点

• 在邻接多重表中，所有依附于同一顶点的边串联在同一个链表中，因为每条边依附于两个顶点，所以每个边结点同时链接在两个链表中。
• 对无向图而言，其邻接多重表和邻接表的差别仅在于，同一条边在邻接表中用两个结点表示，而在邻接多重表中只有一个结点。

邻接多重表的适用性

• 邻接多重表适合用于无向图的存储，能够有效地表示和操作无向图的边和顶点。
• 邻接多重表的各种基本操作的实现和邻接表类似。

总结对比

存储方式	邻接矩阵	邻接表	十字链表	邻接多重表
空间复杂度	$O($|$V$|${}^2)$	无向图：$O($|$V$|+2|$E$|$)$ 有向图：$O($|$V$|+|$E$|$)$	$O($|$V$|+|$E$|$)$	$O($|$V$|+|$E$|$)$
找相邻边	遍历对应行或列的时间复杂度为$O($|$V$|${}^2)$	找有向图的入度必须遍历整个邻接表	很方便	很方便
删除边或顶点	删除边很方便，删除顶点需要大量移动数据	无向图中删除边或顶点都不方便	很方便	很方便
适用于	稠密图	稀疏图和其他	只能存有向图	只能存无向图
表示方式	唯一	不唯一	不唯一	不唯一

六、参考资料

鲍鱼科技课件

b站免费王道课后题讲解: link

网课全程班: link

26王道考研书