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题目大意 && Solution

给定 $T$ 组长度均为 $12$ 的字符串 $s$。

对每个 $s$，将其按从左到右的顺序两两分组形成 $6$ 个 $\mathrm{ASCII}$ 码，对这 $6$ 个 $\mathrm{ASCII}$ 码都 $+50$，作为输出的字符串（即长度为 $6$ 的新字符串）。

直接模拟即可。

时间复杂度 $O(12\cdot T)$

C++ Code

#include <bits/stdc++.h>

using i64 = long long;
using u64 = unsigned long long;
using u32 = unsigned;
using i80 = __int128_t;
using u80 = unsigned __int128_t;
using f64 = double;
using f80 = long double;
using i16 = short;
using u16 = unsigned short;

constexpr f64 pi = std::numbers::pi;

std::mt19937 rng(std::chrono::steady_clock::now().time_since_epoch().count());

void solve() {
    std::string s;
    std::cin >> s;

    std::string ans;
    for (int i = 0; i + 2 <= s.size(); i += 2) {
        ans += char(std::stoi(s.substr(i, 2)) + 50);
    }
    std::cout << ans << "\n";
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(nullptr);
    
    std::cout << std::fixed << std::setprecision(12);
    
    int T = 1;
    std::cin >> T;
    
    while (T--) {
        solve();
    }
    
    return 0;
}

B. 都是绘绘，都是早凉的老婆

题目大意

给定 $T$ 组数据，每组数据给定一棵树。

对于每棵 $n$ 个节点的树，$\mathrm{Alice}$ 和 $\mathrm{Bob}$ 想玩博弈论，但是不想玩得太简单，于是让 $\mathrm{Bob}$ 一开始选择一个点集 $V$，两人就在 $V$ 的 生成子图 $G=(V,E)$ 上开始玩，$\mathrm{Alice}$ 先手。

当前玩家可以选择删掉 $G$ 中的一条边，也可以删掉一个点及其所有相连的边。不能操作的玩家将输掉比赛；特别的，若 $G$ 为空，视为 $\mathrm{Bob}$ 胜利。

当然这都不重要，因为这是 $2023CCPC$ 哈尔滨的题目，结论是：

奇数个点的树的 $\mathrm{SG}$ 值为 $1$，偶数个点的树 $\mathrm{SG}$ 值为 $2$，$\mathrm{Bob}$ 选择的点集 $V$ 只需要满足每个连通块的 $\mathrm{SG}$ 值异或起来等于 $0$ 就有必胜策略。

特别的，空集的 $\mathrm{SG}$ 值为 $0$。

在此基础上，本题想问：$\mathrm{Bob}$ 有多少种方案选择点集 $V$ 能够获胜。

两种方案不同，当且仅当两次选择的点集 $V$ 不同。答案对 $998244353$ 取模。

数据范围

• $1\le \sum n\le 10^6$。

Solution

我们把异或起来为零翻译一下，可以得到：

• $|V|$ 一定为偶数，因为最终异或值要为 $0$，即不论出现多少个 $1$ 还是 $2$，都要求出现偶数个奇数点连通块或偶数个偶数点连通块；
• $|E|$ 一定为偶数，因为对每个连通块来说都有 $|E_i|=|V_i|-1$（树中拆出来的连通块的性质）。

定义 $\mathrm{dp}[\mathrm{x}][0/1][0/1][0/1]$ 为总方案数，细节如下。

• 对当前结点 $x$，
• 第一个 $0/1$ 表示 $\mathrm{不选}/\mathrm{选}$ $x$ 加入 $V$，
• 第二个 $0/1$ 表示已经选择的点集 $V$ 大小的奇偶，$|V|$ 为偶（奇）时为 $0$（$1$），
• 第三个 $0/1$ 表示由已选择点集 $V$ 导出的边集 $E$ 大小的奇偶，$|E|$ 为偶（奇）时为 $0$（$1$）。

下面我们定义 二维矩阵的三个运算（$\oplus$ 为异或运算）。

• 加法 $+$：与正常的矩阵一样，对于 $c=a+b$，有 $$c[i][j]=a[i][j]+b[i][j],0\le i,j<2.$$
• 乘法 $\times$：乘法被重新定义，对于 $c=a\times b$，有 $$c[i\oplus u][j\oplus v]=c[i\oplus u][j\oplus v]+a[i][j]\times b[u][v],0\le i,j,u,v<2.$$ 这里的乘法意思是：$i$ 和 $u$ 分别表示点集大小 $|V|$ 的奇偶，$j$ 和 $v$ 分别表示边集大小 $|E|$ 的奇偶，这样合并二者的方案数只需要枚举 $2^4$ 种情况；而最终新的奇偶性就是 $i\oplus u$ 和 $j\oplus v$。
• 取反 $!$：也是重新定义，对于 $c=!a$，有 $$c[i][j\oplus 1]=a[i][j],0\le i,j<2.$$ 这里的取反意思是：$i$ 表示点集 $|V|$ 大小的奇偶，$j$ 表示边集大小 $|E|$ 的奇偶，当我确定我加入了 $1$ 条新的边，边集的奇偶性就发生改变，所以最后一个维度的方案数应该调换。

下面考虑状态转移。

• $\mathrm{dp}[\mathrm{x}][0]=\mathrm{dp}[\mathrm{x}][0]\times (\mathrm{dp}[\mathrm{y}][0]+\mathrm{dp}[\mathrm{y}][1])$，这表示对于 $x$ 及其子树，不选择 $x$，那么选择 $y$ 不会 引起边的奇偶性变化，只要将其合并到 $\mathrm{dp}[\mathrm{x}][0]$ 中即可；
• $\mathrm{dp}[\mathrm{x}][1]=\mathrm{dp}[\mathrm{x}][1]\times (\mathrm{dp}[\mathrm{y}][0]+!\mathrm{dp}[\mathrm{y}][1])$，这表示对于 $x$ 及其子树，选择了 $x$，那么选择 $y$ 会 引起边的奇偶性变化，需要取反并将其合并到 $\mathrm{dp}[\mathrm{x}][1]$。

初始化：对于 $x\in [1,n]$，均有 $\mathrm{dp}[\mathrm{x}][0][0][0]=\mathrm{dp}[\mathrm{x}][1][1][0]=1$，分别表示 $0$ 个点 $0$ 条边，以及 $1$ 个点 $0$ 条边，都是一种方案。

最终答案 $\mathrm{dp}[0][0][0][0]+\mathrm{dp}[0][1][0][0]$。

时间复杂度 $O(2^4\sum \mathrm{n})$

• 常数会稍大，$10^6$ 的递归栈消耗很大。

C++ Code

#include <bits/stdc++.h>

using i64 = long long;
using u64 = unsigned long long;
using u32 = unsigned;
using i80 = __int128_t;
using u80 = unsigned __int128_t;
using f64 = double;
using f80 = long double;
using i16 = short;
using u16 = unsigned short;

constexpr f64 pi = std::numbers::pi;

std::mt19937 rng(std::chrono::steady_clock::now().time_since_epoch().count());

template<class T>
constexpr T power(T a, i64 b) {
    T res = 1;
    for (; b; b /= 2, a *= a) {
        if (b % 2) {
            res *= a;
        }
    }
    return res;
}
template<int P>
struct MInt {
    int x;
    constexpr MInt() : x{} {}
    constexpr MInt(i64 x) : x{norm(x % getMod())} {}
     
    static int Mod;
    constexpr static int getMod() {
        if (P > 0) {
            return P;
        } else {
            return Mod;
        }
    }
    constexpr static void setMod(int Mod_) {
        Mod = Mod_;
    }
    constexpr int norm(int x) const {
        if (x < 0) {
            x += getMod();
        }
        if (x >= getMod()) {
            x -= getMod();
        }
        return x;
    }
    constexpr int val() const {
        return x;
    }
    explicit constexpr operator int() const {
        return x;
    }
    constexpr MInt operator-() const {
        MInt res;
        res.x = norm(getMod() - x);
        return res;
    }
    constexpr MInt inv() const {
        assert(x != 0);
        return power(*this, getMod() - 2);
    }
    constexpr MInt &operator*=(MInt rhs) & {
        x = 1LL * x * rhs.x % getMod();
        return *this;
    }
    constexpr MInt &operator+=(MInt rhs) & {
        x = norm(x + rhs.x);
        return *this;
    }
    constexpr MInt &operator-=(MInt rhs) & {
        x = norm(x - rhs.x);
        return *this;
    }
    constexpr MInt &operator/=(MInt rhs) & {
        return *this *= rhs.inv();
    }
    friend constexpr MInt operator*(MInt lhs, MInt rhs) {
        MInt res = lhs;
        res *= rhs;
        return res;
    }
    friend constexpr MInt operator+(MInt lhs, MInt rhs) {
        MInt res = lhs;
        res += rhs;
        return res;
    }
    friend constexpr MInt operator-(MInt lhs, MInt rhs) {
        MInt res = lhs;
        res -= rhs;
        return res;
    }
    friend constexpr MInt operator/(MInt lhs, MInt rhs) {
        MInt res = lhs;
        res /= rhs;
        return res;
    }
    friend constexpr std::istream &operator>>(std::istream &is, MInt &a) {
        i64 v;
        is >> v;
        a = MInt(v);
        return is;
    }
    friend constexpr std::ostream &operator<<(std::ostream &os, const MInt &a) {
        return os << a.val();
    }
    friend constexpr bool operator==(MInt lhs, MInt rhs) {
        return lhs.val() == rhs.val();
    }
    friend constexpr bool operator!=(MInt lhs, MInt rhs) {
        return lhs.val() != rhs.val();
    }
};
 
template<>
int MInt<0>::Mod = 998244353;
 
template<int V, int P>
constexpr MInt<P> CInv = MInt<P>(V).inv();
 
constexpr int P = 998244353;
using Z = MInt<P>;

using Vector = std::array<Z, 2>;
using Matrix = std::array<Vector, 2>;
using Tensor = std::array<Matrix, 2>;

Matrix operator+(const Matrix &a, const Matrix &b) {
    Matrix c{};
    for (int i = 0; i < 2; i++) {
        for (int j = 0; j < 2; j++) {
            c[i][j] = a[i][j] + b[i][j];
        }
    }
    return std::move(c);
}
Matrix operator*(const Matrix &a, const Matrix &b) {
    Matrix c{};
    for (int i = 0; i < 2; i++) {
        for (int j = 0; j < 2; j++) {
            if (a[i][j] == 0) {
                continue;
            }
            for (int u = 0; u < 2; u++) {
                for (int v = 0; v < 2; v++) {
                    c[i ^ u][j ^ v] += a[i][j] * b[u][v];
                }
            }
        }
    }
    return std::move(c);
}
Matrix operator!(const Matrix &a) {
    auto c = a;
    for (int i = 0; i < 2; i++) {
        std::swap(c[i][0], c[i][1]);
    }
    return std::move(c);
}

void solve() {
    int n;
    std::cin >> n;

    std::vector<std::vector<int>> adj(n);
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        int u, v;
        std::cin >> u >> v;
        u--, v--;
        adj[u].push_back(v);
        adj[v].push_back(u);
    }

    std::vector<Tensor> dp(n);
    auto dfs = [&](auto &&self, int x) -> void {
        dp[x][0][0][0] = 1;
        dp[x][1][1][0] = 1;
        for (int y: adj[x]) {
            adj[y].erase(std::ranges::find(adj[y], x));
            self(self, y);
            auto res = dp[y][0] + dp[y][1];
            dp[x][0] = dp[x][0] * res;
            res = dp[y][0] + !dp[y][1];
            dp[x][1] = dp[x][1] * res;
        }
    };
    dfs(dfs, 0);

    auto ans = dp[0][0] + dp[0][1];
    std::cout << ans[0][0] << "\n";
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(nullptr);
    
    std::cout << std::fixed << std::setprecision(12);
    
    int T = 1;
    std::cin >> T;
    
    while (T--) {
        solve();
    }
    
    return 0;
}

C. Anon也想玩双影奇境

题目大意

给定 $T$ 组数据，每组有两个正整数 $n,m$。

对每个 $n,m$，要求算出其二进制表示有多少位是相同的（如果长度不一样就补前导零）。

例如 $n=2,m=19$，其二进制表示分别是 $00010,10011$，有 $3$ 位相同。

Solution

用短除法将 $n,m$ 转化为二进制字符串，并补齐前导零后，直接遍历比较即可。

时间复杂度 $O(\sum \log \max (\mathrm{n},\mathrm{m}))$

C++ Code

#include <bits/stdc++.h>

using i64 = long long;
using u64 = unsigned long long;
using u32 = unsigned;
using i80 = __int128_t;
using u80 = unsigned __int128_t;
using f64 = double;
using f80 = long double;
using i16 = short;
using u16 = unsigned short;

constexpr f64 pi = std::numbers::pi;

std::mt19937 rng(std::chrono::steady_clock::now().time_since_epoch().count());

void solve() {
    int n, m;
    std::cin >> n >> m;

    auto get = [&](int x) {
        std::string ans;
        for (int y = x; y > 0; y /= 2) {
            ans += char(y % 2 + '0');
        }
        return ans;
    };
    auto sn = get(n);
    auto sm = get(m);
    while (sn.size() < sm.size()) {
        sn += '0';
    }
    while (sm.size() < sn.size()) {
        sm += '0';
    }
    int N = sn.size();
    std::cout << std::ranges::count_if(std::views::iota(0, N), [&](int i) {
        return sn[i] == sm[i];
    }) << "\n";
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(nullptr);
    
    std::cout << std::fixed << std::setprecision(12);
    
    int T = 1;
    std::cin >> T;
    
    while (T--) {
        solve();
    }
    
    return 0;
}

D. 诗寇蒂Skuld

题目大意

给定 $n$ 朵花的信息 $a_i,l_i,r_i$，分别表示第 $i$ 朵花的 美丽值 以及 开花的区间 $[l_i,r_i]$。再给定一个 $m$ 表示你可以施展魔法的次数；每次施展魔法你可以做如下操作一次：

• 选定一个下标 $i$，要么令 $l_i:=l_i-1$，要么令 $r_i:=r_i+1$。

现在规定某一天的美丽值 $A$ 为** 所有盛开的花的美丽值之和**，求出最多使用 $m$ 次魔法后的 $\max (A)$。

数据范围

• $1\le n\le 100$；
• $0\le m\le 2025$；
• $1\le a_i,l_i,r_i\le 10^9$。

Solution

首先给出结论，这种题目的 某一天 一定可以在某个端点 $l_i$ 或 $r_i$ 处取到。

假设我们是在 非端点处 $d$ 求得了 $\max (A)$，那么一定存在一些 $i$ 使得 $d\in (l_i,r_i)$，否则去到区间并 $\bigcup _{i=1}^n[l_i,r_i]$ 都没有覆盖的地方，一定不会最优。此时对于那些不包含 $d$ 的区间 $[l_j,r_j]$，一定有 $d<l_j$ 或 $d>r_j$（因为 $d$ 一定不在端点）。

设对于当前 $d$，

• 包含 $d$ 的区间下标集合为 $C$；
• 左边有 $c_l$ 个区间可以通过魔法改变右端点到达 $d$，操作 $s_l$ 次；
• 右边有 $c_r$ 个区间可以通过魔法改变左端点到达 $d$，操作 $s_r$ 次。

下面说明我们可以将 $d$ 移到端点而保持答案不变甚至更优。

• $c_l<c_r$，那我们可以找到一个 $i\in C$，使得 $r_i=\underset{k\in C}{\min }{r}_k$，此时将 $d$ 右移到 $r_i$，那么 $$\begin{gathered} s_l:=s_l+c_l, \\ {s}_r:=s_r-c_r, \end{gathered}$$ 这样一来总的操作次数 $s=s_l+s_r$ 就变小了，而且美丽值不变；
• $c_l>c_r$，那我们可以找到一个 $i\in C$，使得 $l_i=\underset{k\in C}{\max }{l}_k$，此时将 $d$ 左移到 $l_i$，那么 $$\begin{gathered} s_l:=s_l-c_l, \\ {s}_r:=s_r+c_r, \end{gathered}$$ 这样一来总的操作次数 $s=s_l+s_r$ 就变小了，而且美丽值不变；
• $c_l=c_r$，那我们随便往上述的 $l_i$ 或 $r_i$ 移，总操作次数 $s$ 不变。

综上，在端点处一定可以取到 $\max (A)$。

下设 $cos{t}_i(d)$ 函数（$i\in [1,n]$）：

$$cos{t}_i(d)=\{\begin{array}{ll}{l}_i-d,& d<l_i,\\ 0,& d\in [l_i,r_i]\\ d-r_i,& d>r_i.\end{array}$$

对于当前的 $d$，可以把 $cos{t}_i(d)$ 看成物品体积，把 $a_i$ 看成物品价值，这样就变成了背包容量为 $m$ 的一个 $01$ 背包问题了。

时间复杂度 $O({\mathrm{n}}^2\mathrm{m})$

C++ Code

#include <bits/stdc++.h>

using i64 = long long;
using u64 = unsigned long long;
using u32 = unsigned;
using i80 = __int128_t;
using u80 = unsigned __int128_t;
using f64 = double;
using f80 = long double;
using i16 = short;
using u16 = unsigned short;

constexpr f64 pi = std::numbers::pi;

template<class T, size_t L>
std::istream &operator>>(std::istream &is, std::array<T, L> &a) {
    for (auto &x: a) {
        is >> x;
    }
    return is;
}
template<class T>
std::istream &operator>>(std::istream &is, std::vector<T> &v) {
    for (auto &x: v) {
        is >> x;
    }
    return is;
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(nullptr);
    
    int n, m;
    std::cin >> n >> m;

    std::vector<std::array<int, 3>> flower(n);
    std::cin >> flower;

    std::vector<int> days;
    for (const auto &[a, l, r]: flower) {
        days.push_back(l);
        days.push_back(r);
    }
    std::ranges::sort(days);
    days.erase(std::unique(days.begin(), days.end()), days.end());

    i64 ans = 0;
    for (int d: days) {
        i64 sum = 0;
        std::vector<std::pair<int, int>> obj;
        for (const auto &[a, l, r]: flower) {
            if (d < l) {
                obj.emplace_back(l - d, a);
            } else if (d > r) {
                obj.emplace_back(d - r, a);
            } else {
                sum += a;
            }
        }
        std::vector<i64> dp(m + 1);
        for (const auto &[v, w]: obj) {
            for (int s = m; s >= v; s--) {
                dp[s] = std::max(dp[s], dp[s - v] + w);
            }
        }
        ans = std::max(ans, sum + dp[m]);
    }
    std::cout << ans << "\n";
    
    return 0;
}

E. 乌尔德+Urd

题目大意

给定 $T$ 组数据，每组给定三个正整数 $n,m,p$。

设有无穷多项的斐波那契数列 $f_1=1,f_2=1,f_3=2,\cdots$。

对每个 $n,m,p$，求 $$\sum _{i=1}^n[m\mid i]\cdot f_i.$$

其中 $m\mid i$ 表示 $m$ 可以整除 $i$，例如 $2\mid 4$；$f_i$ 表示斐波那契数列的第 $i$ 项。

数据范围

• $1\le T\le 10^5$；
• $1\le n,m\le 10^{18}$；
• $1\le p\le 10^9$。

Solution

其实在斐波那契这里看见这么大的数据范围，就应该立即想到矩阵快速幂了。

我们特别规定 $f_0=0$。考虑一个二维向量 $F_n=[f_n,f_{n+1}]$，以及一个转移矩阵

$$A=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 1\end{array}\right],$$

这样一来就有 $F_{n+1}=F_n\times A$，根据矩阵的结合律，有 $F_n=F_0\times A^n$。

那么求和式可以化简为（$F_n[0]=f_n$）

$$\begin{array}{rl}\sum _{i=1}^n[m\mid i]\cdot f_i& =\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{m}\rfloor }{f}_{i\cdot m}\\ & =\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{m}\rfloor }{F}_{i\cdot m}[0]\\ & =\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{m}\rfloor }(F_0\times A^{i\cdot m})[0]\\ & =(F_0\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{m}\rfloor }(A^m{)}^i)[0]\\ & =([0,1]\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{m}\rfloor }(A^m{)}^i)[0]\\ & =\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{m}\rfloor }(B^i)[1][0].\end{array}$$

其中 $B=A^m$，$B[1][0]$ 表示 $B$ 这个二维矩阵第 $1$ 行第 $0$ 列的元素（下标从 $0$ 开始）。

那么我们其实可以求出 $\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{m}\rfloor }{B}^i$ 后，再取其第 $1$ 行第 $0$ 列的元素。而考虑单位阵 $$E=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$$ 的左下角是 $0$，所以我们可以求 $E+\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{m}\rfloor }{B}^i=\sum _{i=0}^{\lfloor \frac{n}{m}\rfloor }{B}^i$。

下设 $N=\lfloor \frac{n}{m}\rfloor$，我们考虑分治求解 $\sum _{i=0}^N{B}^i$。

• 当 $N=0$，直接返回 $E$；
• 当 $N$ 为奇数，那么式子可以拆成长度相同的两部分，分别是 $$\begin{gathered} E+A+A^2+\cdots +A^{\lfloor \frac{N}{2}\rfloor }, \\ {A}^{\lfloor \frac{N}{2}\rfloor +1}+A^{\lfloor \frac{N}{2}\rfloor +2}+\cdots +A^N. \end{gathered}$$ 而把下面提一个 $A^{\lfloor \frac{N}{2}\rfloor +1}$ 就可以得到上面，所以直接算前一半，最后乘以 $(E+A^{\lfloor \frac{N}{2}\rfloor +1})$ 即可。
• 当 $N$ 为偶数，先把 $E$ 去掉，再对后面的式子提一个 $A$，就可以得到 $$E+A(E+A+A^2+\cdots +A^{N-1}),$$ 后面的 $(E+A+A^2+\cdots +A^{N-1})$ 就是 $N-1$ 为奇数的情况。

时间复杂度 $O(\sum (\log m+\log \lfloor \frac{n}{m}\rfloor ))=O(\sum \log n)$

• 其中 $2\times 2$ 矩阵的常数基本可以忽略。

C++ Code

#include <bits/stdc++.h>

using i64 = long long;
using u64 = unsigned long long;
using u32 = unsigned;
using i80 = __int128_t;
using u80 = unsigned __int128_t;
using f64 = double;
using f80 = long double;
using i16 = short;
using u16 = unsigned short;

constexpr f64 pi = std::numbers::pi;

std::mt19937 rng(std::chrono::steady_clock::now().time_since_epoch().count());

template<int P>
struct MInt {
    int x;
    constexpr MInt() : x{} {}
    constexpr MInt(i64 x) : x{norm(x % getMod())} {}
     
    static int Mod;
    constexpr static int getMod() {
        if (P > 0) {
            return P;
        } else {
            return Mod;
        }
    }
    constexpr static void setMod(int Mod_) {
        Mod = Mod_;
    }
    constexpr int norm(int x) const {
        if (x < 0) {
            x += getMod();
        }
        if (x >= getMod()) {
            x -= getMod();
        }
        return x;
    }
    constexpr int val() const {
        return x;
    }
    explicit constexpr operator int() const {
        return x;
    }
    constexpr MInt operator-() const {
        MInt res;
        res.x = norm(getMod() - x);
        return res;
    }
    constexpr MInt inv() const {
        assert(x != 0);
        return power(*this, getMod() - 2);
    }
    constexpr MInt &operator*=(MInt rhs) & {
        x = 1LL * x * rhs.x % getMod();
        return *this;
    }
    constexpr MInt &operator+=(MInt rhs) & {
        x = norm(x + rhs.x);
        return *this;
    }
    constexpr MInt &operator-=(MInt rhs) & {
        x = norm(x - rhs.x);
        return *this;
    }
    constexpr MInt &operator/=(MInt rhs) & {
        return *this *= rhs.inv();
    }
    friend constexpr MInt operator*(MInt lhs, MInt rhs) {
        MInt res = lhs;
        res *= rhs;
        return res;
    }
    friend constexpr MInt operator+(MInt lhs, MInt rhs) {
        MInt res = lhs;
        res += rhs;
        return res;
    }
    friend constexpr MInt operator-(MInt lhs, MInt rhs) {
        MInt res = lhs;
        res -= rhs;
        return res;
    }
    friend constexpr MInt operator/(MInt lhs, MInt rhs) {
        MInt res = lhs;
        res /= rhs;
        return res;
    }
    friend constexpr std::istream &operator>>(std::istream &is, MInt &a) {
        i64 v;
        is >> v;
        a = MInt(v);
        return is;
    }
    friend constexpr std::ostream &operator<<(std::ostream &os, const MInt &a) {
        return os << a.val();
    }
    friend constexpr bool operator==(MInt lhs, MInt rhs) {
        return lhs.val() == rhs.val();
    }
    friend constexpr bool operator!=(MInt lhs, MInt rhs) {
        return lhs.val() != rhs.val();
    }
};
 
template<>
int MInt<0>::Mod = 998244353;
 
template<int V, int P>
constexpr MInt<P> CInv = MInt<P>(V).inv();
 
constexpr int P = 0;
using Z = MInt<P>;

template<class T>
T power(T a, i64 b) {
    T res;
    res.unit(a.n);
    for ( ; b; b /= 2, a *= a) {
        if (b & 1) {
            res *= a;
        }
    }
    return res;
}
template<class T>
struct Matrix {
    int n, m;
    std::vector<std::vector<T>> g;
    Matrix() {}
    Matrix(int _n, int _m) {
        init(_n, _m);
    }
    Matrix(int _n) {
        init(_n);
    }
    template<class T2>
    Matrix(std::vector<std::vector<T2>> _g) {
        init(_g);
    }
    void init(int _n, int _m) {
        n = _n, m = _m;
        g.resize(n);
        for (int i = 0; i < n; i += 1) {
            g[i].resize(m);
        }
    }
    void init(int _n) {
        init(_n, _n);
    }
    void unit(int _n) {
        init(_n, _n);
        for (int i = 0; i < n; i += 1) {
            g[i][i] = 1;
        }
    }
    template<class T2>
    void init(std::vector<std::vector<T2>> _g) {
        init(_g.size(), _g[0].size());
        for (int i = 0; i < n; i += 1) {
            for (int j = 0; j < m; j += 1) {
                g[i][j] = T(_g[i][j]);
            }
        }
    }
    std::vector<T> &operator[](int i) { 
        return g[i];
    }
    void fill(const T v) {
        for (int i = 0; i < n; i += 1) {
            g[i].assign(m, v);
        }
    }
    // 0：逆时针，1：顺时针
    void rotate(int d, int x1, int y1, int x2, int y2) {
        assert(d == 0 or d == 1);
        Matrix<T> G(n, m);
        if (x2 - x1 == n and y2 - y1 == m) {
            G.init(m, n);
        }
        if (d == 0) {
            for (int i = 0; i < n; i += 1) {
                for (int j = 0; j < m; j += 1) {
                    if (i >= x1 and i < x2 and j >= y1 and j < y2) {
                        G[x2 - (j - y1) - 1][y1 + (i - x1)] = g[i][j];
                    } else {
                        G[i][j] = g[i][j];
                    }
                }
            }
        } else {
            for (int i = 0; i < n; i += 1) {
                for (int j = 0; j < m; j += 1) {
                    if (i >= x1 and i < x2 and j >= y1 and j < y2) {
                        G[x1 + (j - y1)][y2 - (i - x1) - 1] = g[i][j];
                    } else {
                        G[i][j] = g[i][j];
                    }
                }
            }
        }
        *this = G;
    }
    void rotate(int d) {
        rotate(d, 0, 0, n, m);
    }
    // 0：上下翻转，1：左右翻转
    void flip(int d, int x1, int y1, int x2, int y2) {
        assert(d == 0 or d == 1);
        Matrix<T> G(n, m);
        if (d == 0) {
            for (int i = 0; i < n; i += 1) {
                for (int j = 0; j < m; j += 1) {
                    if (i >= x1 and i < x2 and j >= y1 and j < y2) {
                        G[(x1 + x2) - i - 1][j] = g[i][j];
                    } else {
                        G[i][j] = g[i][j];
                    }
                }
            }
        } else {
            for (int i = 0; i < n; i += 1) {
                for (int j = 0; j < m; j += 1) {
                    if (i >= x1 and i < x2 and j >= y1 and j < y2) {
                        G[i][(y1 + y2) - j - 1] = g[i][j];
                    } else {
                        G[i][j] = g[i][j];
                    }
                }
            }
        }
        *this = G;
    }
    void flip(int d) {
        flip(d, 0, 0, n, m);
    }
    Matrix<T> transpose() {
        Matrix<T> res(m, n);
        for (int i = 0; i < n; i += 1) {
            for (int j = 0; j < m; j += 1) {
                res[j][i] = g[i][j];
            }
        }
        return res;
    }
    template<class T2>
    Matrix<T> &operator+=(Matrix<T2> A) & {
        assert(n == A.n and m == A.m);
        for (int i = 0; i < n; i += 1) {
            for (int j = 0; j < m; j += 1) {
                g[i][j] += T(A[i][j]);
            }
        }
        return *this;
    }
    template<class T2>
    friend Matrix<T> operator+(Matrix<T> A, Matrix<T2> B) {
        Matrix<T> res = A;
        res += B;
        return res;
    }
    template<class T2>
    Matrix<T> &operator-=(Matrix<T2> A) & {
        assert(n == A.n and m == A.m);
        for (int i = 0; i < n; i += 1) {
            for (int j = 0; j < m; j += 1) {
                g[i][j] -= T(A[i][j]);
            }
        }
        return *this;
    }
    template<class T2>
    friend Matrix<T> operator-(Matrix<T> A, Matrix<T2> B) {
        Matrix<T> res = A;
        res -= B;
        return res;
    }
    template<class T2>
    Matrix<T> &operator*=(Matrix<T2> A) & {
        assert(m == A.n);
        Matrix<T> res(n, A.m);
        for (int i = 0; i < n; i += 1) {
            for (int j = 0; j < A.m; j += 1) {
                for (int k = 0; k < m; k += 1) {
                    res[i][j] += g[i][k] * T(A[k][j]);
                }
            }
        }
        return *this = res;
    }
    template<class T2>
    friend Matrix<T> operator*(Matrix<T> A, Matrix<T2> B) {
        Matrix<T> res = A;
        res *= B;
        return res;
    }
    friend std::istream &operator>>(std::istream &is, Matrix<T> &A) {
        for (int i = 0; i < A.n; i += 1) {
            for (int j = 0; j < A.m; j += 1) {
                is >> A[i][j];
            }
        }
        return is;
    }
    friend std::ostream &operator<<(std::ostream &os, Matrix<T> &A) {
        for (int i = 0; i < A.n; i += 1) {
            for (int j = 0; j < A.m; j += 1) {
                os << A[i][j] << " \n"[j + 1 == A.m];
            }
        }
        return os;
    }
    friend bool operator==(Matrix<T> A, Matrix<T> B) {
        if (A.n != B.n) {
            return false;
        } else if (A.m != B.m) {
            return false;
        }
        for (int i = 0; i < A.n; i += 1) {
            for (int j = 0; j < A.m; j += 1) {
                if (A[i][j] != B[i][j]) {
                    return false;
                }
            }
        }
        return true;
    }
    friend bool operator!=(Matrix<T> A, Matrix<T> B) {
        if (A.n != B.n) {
            return true;
        } else if (A.m != B.m) {
            return true;
        }
        for (int i = 0; i < A.n; i += 1) {
            for (int j = 0; j < A.m; j += 1) {
                if (A[i][j] != B[i][j]) {
                    return true;
                }
            }
        }
        return false;
    }
    friend bool operator<(Matrix<T> A, Matrix<T> B) {
        if (A.n != B.n) {
            return A.n < B.n;
        } else if (A.m != B.m) {
            return A.m < B.m;
        }
        for (int i = 0; i < A.n; i += 1) {
            for (int j = 0; j < A.m; j += 1) {
                if (A[i][j] != B[i][j]) {
                    return A[i][j] < B[i][j];
                }
            }
        }
        return false;
    }
    friend bool operator>(Matrix<T> A, Matrix<T> B) {
        if (A.n != B.n) {
            return A.n > B.n;
        } else if (A.m != B.m) {
            return A.m > B.m;
        }
        for (int i = 0; i < A.n; i += 1) {
            for (int j = 0; j < A.m; j += 1) {
                if (A[i][j] != B[i][j]) {
                    return A[i][j] > B[i][j];
                }
            }
        }
        return false;
    }
};

void solve() {
    i64 n, m, p;
    std::cin >> n >> m >> p;

    if (p == 1) {
        std::cout << 0 << "\n";
        return;
    }
    Z::setMod(p);

    Matrix<Z> E(std::vector<std::vector<Z>>{
        {1, 0},
        {0, 1}
    });
    Matrix<Z> A(std::vector<std::vector<Z>>{
        {0, 1},
        {1, 1}
    });
    A = power(A, m);

    auto dfs = [&](auto &&self, i64 n) -> Matrix<Z> {
        if (n == 0) {
            return E;
        }
        return (n & 1) ? (E + power(A, n / 2 + 1)) * self(self, n / 2): (E + A * self(self, n - 1));
    };
    auto ans = dfs(dfs, n / m);

    std::cout << ans[1][0] << "\n";
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(nullptr);
    
    std::cout << std::fixed << std::setprecision(12);
    
    int T = 1;
    std::cin >> T;
    
    while (T--) {
        solve();
    }
    
    return 0;
}