文章目录
- 习题
- 质数
- 找素数
- LCM
- 报数游戏
- 快速幂
- 数字诗意
- 组合数与错位排序
- 小蓝与钥匙
- 同余
- 取模
- 数论，就是一些数学问题，蓝桥杯十分喜欢考察，常见的数论的问题有：取模，同余，大整数分解，素数，质因数，最大公约数，最小公倍数等等
整除
取模
同余
- 两个数同余，就是
a % k = b % k,对于对同一个数的同余，那么就意味着a = b + x*k,意味着它们相差k的倍数，也就有(a-b) % k = 0
素数
- 首先介绍这个素数的问题，也就是质数，只能被
1或者本身整除，最小的素数是2 - 需要掌握
埃氏筛或者欧拉筛求解出1-n的范围内的所有的质数
is_prime = [True]*(N+1)
prime = []
for i in range(2,N+1):
if is_prime[i]:
prime.append(i)
for j in range(2*i,N+1,i):
is_prime[j] = False
# 最后的话，这个prime 会存储所有的质数
求解一个数的质因数
求解最小质因数
- 同样，也可以使用
埃氏筛，也可以使用欧式筛
def minprime(n):
i = 2
while i*i <= n:
if n % i == 0:
return i
i += 1
# 质数最后会返回自己本身
return n
求解一个数的全部的质因数组成
def zuprime(n):
ans = []
i = 2
while i*i <=n:
while n % i == 0:
ans.append(i)
n = n // i
i += 1
if n > 1:
ans.append(n)
return ans
求解一个范围内的数的最小质因数
使用欧式筛,欧式筛的原理就是，每一个数只会被最小质因数所筛选，所以相对于埃氏筛来说具有优势
# 在这里我们初始化全部的数的最小质因数都是1，也包括质数
minprime = [1]*(N+1)
is_prime = [True]*(N+1)
prime = []
for i in range(2,N+1):
if is_prime[i]:
prime.append(i)
for j in prime:
if i*j > N :
break
is_prime[i*j] = False
min_prime[i*j] = j
# 保证只能被最小质因数筛选
if i % j == 0:
break
最大公因数
a和b的最大公因数表示，可以整除a,b的最大的公因数，一般使用辗转相除法进行求解
import math
# 需要求解a,b的最大公因数，可以直接调用这个gcd函数进行求解
ans = math.gcd(a,b)
最小公倍数
a和b的最小公倍数LCM可以通过这个与最大公因数的关系进行求解
# lcm(a,b) = a*b // math.gcd(a,b)
组合数
快速幂
- 可以使用
pow方法求解取模的幂次，类似于快速幂
result = pow(base, exponent, mod) # 计算 (base ** exponent) % mod
# 也可以手动实现上述功能
def quick_pow(a, n):
ans = 1
while n > 0:
if n & 1: # 如果该二进制位存在
ans = ans * a % MOD
a = a * a % MOD
n >>= 1 # n除以2,判断下一个二进制位
return ans
容斥定理
错位排序
习题
质数
找素数
- 由于是填空题，直接暴力求解
N = 10**7
prime = []
is_prime = [True]*(N+1)
for i in range(2,N+1):
if is_prime[i]:
prime.append(i)
for j in range(i*2,N+1,i):
is_prime[j] = False
if len(prime) > 10**5 +2 :
print(prime[10**5+1])
# 1299743
LCM
报数游戏
报数游戏
- 很明显，这个题目不可能会让你从一开始就进行大范围的暴力求解
- 所以还是考虑在小范围之内
打表找规律
ans = []
for i in range(1,10**3+1):
if i % 20 == 0 or i % 24 ==0:
ans.append(i)
print(ans)
# 输出情况
[20, 24, 40, 48, 60, 72, 80, 96, 100, 120, 140, 144, 160, 168, 180, 192, 200, 216, 220, 240, 260, 264, 280, 288, 300, 312, 320, 336, 340, 360,····]
- 即使在
打表之前，我们就应该想到，这个找的是20或者24的倍数，那么他们的倍数在什么时候会重合？这里就回到了这个LCM的问题，我们可以发现LCM(20,24)=120,所以对于打表之后的输出找规律，发现，刚好120范围就会有10个数字，类似于这个进制一样，我们只需算出n是10个多少倍数，然后再对应余数找到这个对应的基数，后面再乘再+即可
num = [20, 24, 40, 48, 60, 72, 80, 96, 100, 120]
print(202420242024//10)
# 答案是 20242024202
print(202420242024%10)
# 答案是 4
print(120*20242024202+48)
# 答案是 2429042904288
快速幂
数字诗意
数字诗意
- 首先的思考，由于数字的范围十分大，所以考虑
还是找规律，(其实数据范围较大的时候，就得考虑这个数字规律的问题，一般有幂次，循环规律等) - 当然，还是老方法，通过
打表进行求解，但是如何打表就成为我们现在应该考虑的问题！ 暴力也是一种学问！：我们可以从1开始逐一枚举连续的和的开始位置，再枚举向右的位置
notres = []
def check(num):
# 枚举开始位置
for i in range(1,num):
ans = 0
# 枚举结束的位置
for j in range(i,num):
ans += j
if ans > num:
break
elif ans == num:
return True
直接暴力求解是可以通过
30%的测试用例的
- 但是我们可以把打表的结果输出找规律！
# notres 数组如下
[1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192]
# 可以看到都是2的幂次，所以可以得到是2的幂次都是不满足的
- 现在的任务转化为这个
快速求解出10^16那么大的一个范围内的2的幂次的值，然后存储起来，那么大的范围的一个幂次的问题，直接转化为这个快速幂的问题
# 10**16
notres = []
i = 0
# python直接调用这个pow函数进行求解
while pow(2,i) <= 10**16:
notres.append(pow(2,i))
i += 1
- 两个代码相互结合，就可以通过全部的测试用例
import os
import sys
# 请在此输入您的代码
notres = []
# 10**16
notres = []
i = 0
while pow(2,i) <= 10**16:
notres.append(pow(2,i))
i += 1
n = int(input())
a = list(map(int,input().split()))
cou = 0
for nu in a:
if nu in notres:
cou+=1
print(cou)
组合数与错位排序
小蓝与钥匙
小蓝与钥匙
- 很容易看出来这是一个
错位排序的问题，直接套公式dp[i] = (i-1)*(dp[i-1]+dp[i-2]) - 题目求解的是这个方案数，我们得在
28个孩子中先选择14个孩子，作为错位排序的对象，剩余的就正常对应，所以这个还考察了这个组合数的问题
import os
import sys
# 请在此输入您的代码
# 错位排序+组合数
# 从28个孩子中选出14个孩子的方案数乘剩余14个错位排序的方案
dp = [0]*15
dp[1] ,dp[2] = 0,1
for i in range(3,15):
dp[i] = (i-1)*(dp[i-1]+dp[i-2])
# 从28个孩子中选出14个孩子，28! // (14!*14!)
tmp1 ,tmp2 = 1,1
for i in range(1,29):
tmp1 *= i
if i <= 14:
tmp2 *= i
zu = int(tmp1 / (tmp2*tmp2))
print(dp[14]*zu)
# 答案是 1286583532342313400
同余
取模
取模
- 其实题目中的m的范围并没有那么大，我们直接采用暴力的做法即可
import os
import sys
# 请在此输入您的代码
# 取模，是否存在？
# 直接暴力求解
def check(num,m):
store = set()
for i in range(1,m+1):
tmp = num % i
if tmp in store:
return True
else:
store.add(tmp)
return False
T = int(input())
for _ in range(T):
n,m = map(int,input().split())
if check(n,m):
print("Yes")
else:
print("No")
