计算机基础：编码03，根据十进制数，求其原码

news2025/3/22 7:37:01

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本节前言

上一节，我讲解了原码的一点知识。本节，我继续来讲解关于原码的知识。

在上一节，我讲了，根据一个原码，来判断它所表示的十进制整数。本节，我们反过来，给定一个十进制整数，来求解其原码。

一. 根据十进制数求原码

在下面的讲解中，会涉及将十进制数转为对应的二进制数的知识。将十进制整数转为二进制数，需要采用除 2 取余法。如果你不会这个方法，请参考下面的链接所示的文章。

计算机基础：二进制基础04，十进整制数转化为二进制整数

在确保你已经学会了除 2 取余法之后，你可以接着往下学习本节的知识。

在上一节里面，我们讲了原码的结构。一个原码，它分为两个字段。无论这个原码是 8 位的，还是 16 位的，32 位的，还是 64 位的，它都是分为两个字段。最高位是一个字段，它是符号位。而其余位是另一个字段，数值位。

给定一个十进制整数，首先呢，看它是 0，正数，还是负数。如果是 0 的话，它的原码就是全 0 。如果是正整数的话，则符号位为 0，数值位为这个十进制正整数对应的二进制数。如果是负整数的话，则符号位为 1，而数值位是这个十进制负整数的绝对值所对应的二进制数。

举例来说，如果我们给定 49 这个十进制正整数，那么，由于是正整数，所以，符号位为 0 。而数值位则是十进制整数 49 所对应的二进制数 11 0001 。假定这个数是 8 位整数，则它的原码就是 0011 0001 。如果这个数是 16 位整数，则它的原码是 0000 0000 0011 0001 。注意，填完了符号位与最简数值位之后，剩余位补 0 。

再来举一个例子，假定我们要来表示的整数是 -93 。这是一个负整数，所以，符号位为 1 。然后呢，这个负整数的绝对值为 93，所以，数值位为十进制整数 93 所对应的二进制数 101 1101 。假定这个数是 8 位整数，则它的原码为 1101 1101 。假定这个数是 16 位整数，则它的原码是 1000 0000 0101 1101 。注意，填完了符号位与最简数值位之后，剩余位补 0 。

二. 例题

在这里，我只举一个例子。求解 ±103 的原码。

无论是 +103，还是 -103，它的绝对值都是 103 。我们先求解 103所对应的二进制数，结果为 110 0111 。这个结果，我们将其作为数值位。

如果是 8 位二进制数，则 +103 的原码是 0110 0111，-103 的原码是 1110 0111 。

如果是 16 位二进制数，则 +103 的原码是 0000 0000 0110 0111，-103 的原码是 1000 0000 0110 0111 。

三. 特殊的原码

对于 0 这个数，它的 8 位原码为 0000 0000，它的 16 位原码为 0000 0000 0000 0000 。

但是现在有个问题，1000 0000，它代表着什么数呢？符号位为 1，而数值位为 0，它所代表的数，是 -0 吗？

不是的。

某一个原码，当符号位为 1，而数值位是全 0 时，这个原码所代表的数值，要看符号的位权是什么。

在某一个原码里面，我们设符号位的位权为 a，某一个数，它正好是说，符号位为 1，数值位是全 0，则这个原码所代表的十进制数为 $-2^{a}$ 。

对于 8 位二进制数，符号位的位权为 7，所以，a 等于 7，则 1000 0000 所代表的十进制数为 $-2^{7}$ ，为 -128 。

对于 16 位二进制数，符号位的位权为 15，所以，a 等于 15，则 1000 0000 0000 0000 所代表的十进制数为 $-2^{15}$ ，为 -32768 。

四. 有符号数的范围

在学习 C/C++ 的时候，我们大概都学习过，8 位有符号整数的范围是 -128 ~ 127，而 16 位有符号整数的范围是 -32768 ~ 32767 。

也就是说，signed char 型变量的范围是 -128 ~ 127，而 short 型变量的范围是 -32768 ~ 32767 。

那么，为什么是这个范围呢？

我们先来说 8 位原码。

（一）8 位原码的表示范围

首先呢，当 8 位全 0 时，此原码表示的数是 0 。

然后呢，当符号位是 0，且数值位并非全 0 时，则此原码代表正整数。此时，这个正整数的数值位的取值范围是 000 0001 ~ 111 1111，也就是 1 ~ 127 。

当符号位为 1 时，且数值位并非全 0 时，则此原码代表负整数。此时，这个负整数的数值位的取值范围是 000 0001 ~ 111 1111，也就是说，这个负整数的绝对值为 1 ~ 127 。所以，在这种情况里，此原码的取值范围是 -127 ~ -1 。

当符号位为 1，且数值位是全 0 时，此时，这个负整数所表示的数为 -128 。

我们将以上几种情况清点以下，-128，-127 ~ -1，0，1 ~ 127，把它们组合起来，就是 -128 ~ 127 。

（二）16 位原码的表示范围

首先呢，当 16 位全 0 时，此原码表示的数是 0 。

然后呢，当符号位是 0，且数值位并非全 0 时，则此原码代表正整数。此时，这个正整数的数值位的取值范围是 000 0000 0000 0001 ~ 111 1111 1111 1111，也就是 1 ~ 32767 。

当符号位为 1 时，且数值位并非全 0 时，则此原码代表负整数。此时，这个负整数的数值位的取值范围是 000 0000 0000 0001 ~ 111 1111 1111 1111，也就是说，这个负整数的绝对值为 1 ~ 32767 。所以，在这种情况里，此原码的取值范围是 -32767 ~ -1 。

当符号位为 1，且数值位是全 0 时，此时，这个负整数所表示的数为 -32768 。

我们将以上几种情况清点以下，-32768，-32767 ~ -1，0，1 ~ 32767，把它们组合起来，就是 -32768 ~ 32767 。