素数判定方法详解：从基础试除法到优化策略

news2025/3/19 6:36:39

素数是只能被1和自身整除的正整数。素数的判定是数论中的基础问题，也是算法竞赛中的常见考点。

一、知识点

素数的定义：
素数（质数）是大于1的自然数，且只能被1和自身整除。
试除法：
通过遍历从2到sqrt(n)的所有整数，判断是否能整除n。如果能整除，则n不是素数。
试除法的优化：
- 优化1：将试除范围从[2, n-1]缩小到[2, sqrt(n)]。
- 优化2：仅用[2, sqrt(n)]内的素数试除，避免用合数试除。
时间复杂度：
- 未优化的试除法：O(n)。
- 优化后的试除法：O(sqrt(n))。

二、试除法及其优化

1. 基础试除法

原理：遍历从2到sqrt(n)的所有整数，检查是否能整除n。

代码实现：

bool isPrime(long long n) {
    if (n <= 1) return false; // 1不是素数
    for (long long i = 2; i <= sqrt(n); i++) {
        if (n % i == 0) return false; // 能整除，不是素数
    }
    return true; // 是素数
}

说明：
- sqrt(n)：只需遍历到sqrt(n)，因为如果n有大于sqrt(n)的因子，必然有小于sqrt(n)的因子。
- 时间复杂度：O(sqrt(n))。

2. 试除法的第一次优化

原理：仅用[2, sqrt(n)]内的素数试除，避免用合数试除。
实现步骤：
1. 预先生成[2, sqrt(n)]内的所有素数（如用筛法）。
2. 用这些素数试除n。

代码实现：

bool isPrimeOptimized(long long n, const vector<long long>& primes) {
    if (n <= 1) return false; // 1不是素数
    for (long long p : primes) {
        if (p * p > n) break; // 超过sqrt(n)，停止
        if (n % p == 0) return false; // 能整除，不是素数
    }
    return true; // 是素数
}

说明：
- primes：预先生成的素数列表（如用埃氏筛法生成）。
- 时间复杂度：O(sqrt(n)/log⁡n)，因为素数密度约为log⁡n。

3. 试除法的第二次优化

原理：结合筛法，动态生成素数列表，避免预先生成。
实现步骤：
1. 使用筛法（如埃氏筛法）动态生成[2, sqrt(n)]内的素数。
2. 用这些素数试除n。

代码实现：

vector<long long> generatePrimes(long long limit) {
    vector<bool> isPrime(limit + 1, true);
    vector<long long> primes;
    for (long long i = 2; i <= limit; i++) {
        if (isPrime[i]) {
            primes.push_back(i);
            for (long long j = i * i; j <= limit; j += i) {
                isPrime[j] = false;
            }
        }
    }
    return primes;
}

bool isPrimeOptimized2(long long n) {
    if (n <= 1) return false; // 1不是素数
    long long limit = sqrt(n);
    vector<long long> primes = generatePrimes(limit);
    return isPrimeOptimized(n, primes);
}

说明：
- generatePrimes：生成[2, sqrt(n)]内的素数列表。
- 时间复杂度：O(sqrt(n) log⁡ log⁡n)（筛法复杂度）。

三、代码说明

基础试除法：
- 适用于小规模数据（n≤10^12）。
- 实现简单，但效率较低。
第一次优化：
- 通过预先生成素数列表，减少试除次数。
- 适用于需要多次判断素数的场景。
第二次优化：
- 动态生成素数列表，避免预先生成。
- 适用于单次判断素数且n较大的场景。

四、例题解析

P1036 [NOIP 2002 普及组] 选数 - 洛谷

算法代码：

#include<bits/stdc++.h>  // 包含所有标准库头文件
using namespace std;     // 使用标准命名空间

int n, k;                // n: 数组长度, k: 需要选择的元素个数
int a[20];               // 存储输入的数组
int ans;                 // 记录满足条件的组合数

// 判断一个数是否为素数
bool is_prime(int s) {
    if (s <= 1) {        // 1及以下的数不是素数
        return false;
    }
    for (int i = 2; i <= sqrt(s); i++) {  // 遍历2到sqrt(s)
        if (s % i == 0) {  // 如果s能被i整除，说明s不是素数
            return false;
        }
    }
    return true;         // 否则s是素数
}

// 深度优先搜索（DFS）函数
// cnt: 当前已选择的元素个数
// sum: 当前已选择元素的和
// p: 当前选择的起始位置
void dfs(int cnt, int sum, int p) {
    if (cnt == k) {      // 如果已经选择了k个元素
        if (is_prime(sum)) {  // 判断这些元素的和是否为素数
            ans++;       // 如果是素数，答案加1
        }
        return;         // 返回上一层递归
    }
    for (int i = p; i < n; i++) {  // 从位置p开始选择元素
        dfs(cnt + 1, sum + a[i], i + 1);  // 递归选择下一个元素
    }
}

int main() {
    cin >> n >> k;       // 输入数组长度n和需要选择的元素个数k
    for (int i = 0; i < n; i++) {  // 输入数组元素
        cin >> a[i];
    }
    dfs(0, 0, 0);        // 调用DFS函数，初始状态：已选0个元素，和为0，起始位置为0
    cout << ans;         // 输出满足条件的组合数
    return 0;            // 程序结束
}

1. 问题描述

输入：一个长度为n的数组a，以及一个整数k。
目标：从数组a中选择k个元素，使得这些元素的和为素数。统计所有满足条件的组合数。

2. 设计思路

（1）核心问题分解

子问题1：如何判断一个数是否为素数？
子问题2：如何从数组中选择k个元素，并计算它们的和？
子问题3：如何统计所有满足条件的组合数？

（2）解决子问题1：素数判断

方法：使用试除法。
- 遍历从2到sqrt（n）的所有整数，检查是否能整除n。
- 如果能整除，则n不是素数；否则，n是素数。

代码实现：

bool is_prime(int s) {
    if (s <= 1) return false; // 1及以下的数不是素数
    for (int i = 2; i <= sqrt(s); i++) {
        if (s % i == 0) return false; // 能整除，不是素数
    }
    return true; // 是素数
}

（3）解决子问题2：选择k个元素并计算和

方法：使用深度优先搜索（DFS）遍历所有可能的组合。
- 从数组中选择k个元素，确保不重复选择。
- 在DFS过程中，记录当前已选择的元素个数、当前和以及选择的起始位置。

代码实现：

void dfs(int cnt, int sum, int p) {
    if (cnt == k) { // 已选择k个元素
        if (is_prime(sum)) ans++; // 如果和为素数，答案加1
        return;
    }
    for (int i = p; i < n; i++) { // 从位置p开始选择
        dfs(cnt + 1, sum + a[i], i + 1); // 递归选择下一个元素
    }
}

（4）解决子问题3：统计满足条件的组合数

方法：在DFS过程中，每当找到一个满足条件的组合（和为素数），就将计数器ans加1。

代码实现：

int ans = 0; // 初始化计数器
dfs(0, 0, 0); // 调用DFS函数
cout << ans; // 输出结果

3. 代码实现步骤

（1）输入部分

读取数组长度n和需要选择的元素个数k。

读取数组a的元素。

cin >> n >> k;
for (int i = 0; i < n; i++) {
    cin >> a[i];
}

（2）DFS函数

参数说明：
- cnt：当前已选择的元素个数。
- sum：当前已选择元素的和。
- p：当前选择的起始位置（避免重复选择）。
递归终止条件：
- 当cnt == k时，检查sum是否为素数。如果是，则ans++。

递归过程：

从位置p开始，依次选择数组中的元素，并递归调用DFS。

void dfs(int cnt, int sum, int p) {
    if (cnt == k) {
        if (is_prime(sum)) ans++;
        return;
    }
    for (int i = p; i < n; i++) {
        dfs(cnt + 1, sum + a[i], i + 1);
    }
}