模运算的艺术:从基础到高阶的算法竞赛应用

news2025/3/17 15:27:56

        在算法竞赛中,模运算(取模运算)是一个非常重要的概念,尤其在处理大数、防止溢出、以及解决与周期性相关的问题时。C++ 中的模运算使用 % 运算符,但它的行为和使用场景需要特别注意。

1. 模运算的基本概念

模运算是指求一个数除以另一个数的余数。在 C++ 中,模运算使用 % 运算符。例如:

int a = 17;
int b = 5;
int result = a % b; // result = 2,因为 17 除以 5 的余数是 2

2. 模运算的性质

模运算有一些重要的性质,这些性质在算法竞赛中经常被用到:

  • 结合律:

  • 分配律:

  • 幂运算的模:

3. 模运算的应用场景

3.1 防止整数溢出

        在算法竞赛中,经常会遇到大数运算,直接计算可能会导致整数溢出。使用模运算可以有效地防止溢出。

例如,计算 (a×b)%m时,可以先对 a和 b分别取模,然后再相乘取模:

long long a = 123456789;
long long b = 987654321;
long long m = 1000000007;
long long result = (a % m) * (b % m) % m;

3.2 周期性问题的处理

        模运算常用于处理周期性或循环性质的问题。例如,计算某个数在模 m 下的性质,或者判断两个数在模 m 下是否相等。(同余定理)

3.3 快速幂算法

        快速幂算法(Exponentiation by Squaring)是一种高效计算大数幂模的方法。通过递归或迭代的方式,可以将时间复杂度从 O(n) 降低到 O(log⁡n)。

long long fast_pow(long long base, long long exp, long long mod) {
    long long result = 1;
    while (exp > 0) {
        if (exp % 2 == 1) {
            result = (result * base) % mod;
        }
        base = (base * base) % mod;
        exp /= 2;
    }
    return result;
}

3.4 组合数学中的模运算

        在组合数学中,模运算常用于计算组合数、排列数等。由于组合数可能非常大,通常会使用模运算来限制结果的大小。

例如,计算组合数 C(n,k)%m时,可以使用递推公式或预处理阶乘和逆阶乘的方法。

4. 负数的模运算

在 C++ 中,计算规则是:先按正整数求余,然后加上符号,模运算的结果符号与被除数相同例如:

int a = -17;
int b = 5;
int result = a % b; // result = -2,因为 -17 除以 5 的余数是 -2

如果需要得到非负的余数,可以手动调整:(非常重要)

int mod(int a, int m) {
    return (a % m + m) % m;
}

5. 模运算的常见错误

  • 除数为零:模运算的除数不能为零,否则会导致运行时错误。

  • 负数模运算:需要注意负数的模运算结果可能不符合预期,需要手动调整。

  • 溢出问题:即使使用了模运算,仍然需要注意中间结果的溢出问题。

6.取模操作满足以下性质

(1)加:(a+b)%m=((a%m)+(b&m))%m。如果没有限制a、b的正负,在C代码中的左右可能符号相反、大小相差m。

(2)减:(a-b)%m=((a%m)-(b&m))%m。在C代码中左右可能符号相反、大小相差m。

(3)乘:(a*b)%m=((a%m)*(b&m))%m。

(4)然而,对除法取模进行类似操作是错误的:(a/b)%m=((a%m)/(b&m))%m。

例如,(100/50)%20=2,(100%20)/(50%20)%20=0,两者不相等。

1. 加法取模:(a+b)%m=((a%m)+(b%m))%m

问题描述

如果没有限制 aa 和 bb 的正负,在 C++ 中,左右两边的结果可能符号相反、大小相差 mm。

原因分析

在 C++ 中,模运算 % 的结果符号与被除数相同。例如:

  • 7%5=2

  • −7%5=−2

        因此,如果 a 或 b 是负数,a%m 或 b%m 的结果可能是负数。当两个负数相加时,结果可能超出模数 m 的范围,导致最终结果符号相反或大小相差 m。

解决方法

为了保证结果非负,可以在最终结果上加上 m 再取模:

int mod_add(int a, int b, int m) {
    return ((a % m) + (b % m) + m) % m;
}

2. 减法取模:(a−b)%m=((a%m)−(b%m))%m

问题描述

在 C++ 中,左右两边的结果可能符号相反、大小相差 m。

原因分析

        与加法类似,如果 a%m或 b%m 是负数,减法结果可能超出模数 m 的范围,导致最终结果符号相反或大小相差 m。

解决方法

为了保证结果非负,可以在最终结果上加上 m 再取模:

int mod_sub(int a, int b, int m) {
    return ((a % m) - (b % m) + m) % m;
}

3. 乘法取模:(a×b)%m=((a%m)×(b%m))%m

问题描述

乘法取模的性质在 C++ 中成立,但需要注意中间结果可能溢出。

原因分析

乘法取模的性质是基于模运算的结合律和分配律的,因此在 C++ 中成立。但如果 a 和 b 较大,直接计算 (a%m)×(b%m)可能会导致溢出。

解决方法

使用更大的数据类型(如 long long)来存储中间结果,或者分步计算:

int mod_mul(int a, int b, int m) {
    return ((long long)(a % m) * (b % m)) % m;
}

4. 除法取模:(a/b)%m≠((a%m)/(b%m))%m

问题描述

除法取模的性质在 C++ 中不成立。

原因分析

除法取模的性质不成立的原因是:

  • 除法运算 a/b 的结果与模运算 a%m 和 b%m 没有直接关系。

  • 模运算会丢失部分信息,导致除法结果无法正确反映。

解决方法

        在模运算中,除法需要通过乘法逆元来实现。如果 mm 是质数,可以使用费马小定理计算逆元:(a/b)%m=(a×b−1)%m

其中 b−1 是 b 的模 m 逆元。

代码实现

// 快速幂算法计算逆元
long long inv(long long b, long long m) {
    return fast_pow(b, m - 2, m);
}

// 除法取模
int mod_div(int a, int b, int m) {
    return ((long long)(a % m) * inv(b, m)) % m;
}

7. 模运算的优化技巧

  • 预处理:在需要多次进行模运算的情况下,可以预处理一些中间结果,减少重复计算。

  • 位运算:在某些情况下,可以使用位运算来加速模运算,尤其是在模数为 2 的幂时。

8. 示例代码

以下是一个使用模运算的示例代码,计算斐波那契数列的第 n项模 m:

#include <iostream>
using namespace std;

const int MOD = 1000000007;

int fibonacci(int n) {
    if (n == 0) return 0;
    if (n == 1) return 1;

    int a = 0, b = 1, c;
    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
        c = (a + b) % MOD;
        a = b;
        b = c;
    }
    return b;
}

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    cout << fibonacci(n) << endl;
    return 0;
}

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处:http://www.coloradmin.cn/o/2316690.html

如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请联系多彩编程网进行投诉反馈,一经查实,立即删除!

相关文章

ST电机库电流采样 三电阻单ADC

一、概述 下图是三电阻采样的电路结构 其中流过三相系统的电流I1、I2、I3遵循以下关系: 因此,为了重建流过普通三相负载的电流,在我们可以用以上公式计算的情况下,只需要对三相中的两相进行采样即可。 STM32的ADC可以很灵活的配置成同步采集两路ADC数据,…

现代密码学 | 具有保密和认证功能的安全方案

1.案例背景 1.1 2023年6月&#xff0c;微软云电子邮件泄露 事件描述&#xff1a; 2023年6月&#xff0c;属于多家美国政府机构的微软云电子邮件账户遭到非法入侵&#xff0c;其中包括了多位高级政府官员的电子邮件。据报道&#xff0c;美国国务院的10个邮件账户中共有6万封电…

一款基于Python的从常规文档里提取图片的简单工具开发方案

一款基于Python的从常规文档里提取图片的简单工具开发方案 1. 环境准备 安装必需库 pip install python-docx PyMuPDF openpyxl beautifulsoup4 pillow pip install pdfplumber # PDF解析备用方案 pip install tk # Python自带&#xff0c;无需安装工具选择 开发环…

JetBrains(全家桶: IDEA、WebStorm、GoLand、PyCharm) 2024.3+ 2025 版免费体验方案

JetBrains&#xff08;全家桶: IDEA、WebStorm、GoLand、PyCharm&#xff09; 2024.3 2025 版免费体验方案 前言 JetBrains IDE 是许多开发者的主力工具&#xff0c;但从 2024.02 版本起&#xff0c;JetBrains 调整了试用政策&#xff0c;新用户不再享有默认的 30 天免费试用…

Docker生存手册:安装到服务一本通

文章目录 一. Docker 容器介绍1.1 什么是Docker容器&#xff1f;1.2 为什么需要Docker容器&#xff1f;1.3 Docker架构1.4 Docker 相关概念1.5 Docker特点 二. Docker 安装2.1 查看Linux内核版本2.2 卸载老版本docker&#xff0c;避免产生影响2.3 升级yum 和配置源2.4 安装Dock…

Linux内核传输层UDP源码分析

一、用户数据包协议&#xff08;UDP&#xff09; 1.UDP数据报头 UDP 提供面向消息的不可靠传输&#xff0c;但没有拥塞控制功能。很多协议都使用 UDP&#xff0c;如用于 IP 网络传输音频和视频的实时传输协议 (Real-time Transport Protocol&#xff0c;RTP)&#xff0c;此类型…

FPGA学习(二)——实现LED流水灯

FPGA学习(二)——实现LED流水灯 目录 FPGA学习(二)——实现LED流水灯一、DE2-115时钟源二、控制6个LED灯实现流水灯1、核心逻辑2、代码实现3、引脚配置4、实现效果 三、模块化代码1、分频模块2、复位暂停模块3、顶层模块 四、总结 一、DE2-115时钟源 DE2-115板子包含一个50MHz…

Linux如何在设备树中表示和引用设备信息

DTS基本知识 dts 硬件的相应信息都会写在.dts为后缀的文件中&#xff0c;每一款硬件可以单独写一份xxxx.dts&#xff0c;一般在Linux源码中存在大量的dts文件&#xff0c;对于arm架构可以在arch/arm/boot/dts找到相应的dts&#xff0c;一个dts文件对应一个ARM的machie。 dtsi 值…

Matlab 汽车振动多自由度非线性悬挂系统和参数研究

1、内容简介 略 Matlab 169-汽车振动多自由度非线性悬挂系统和参数研究 可以交流、咨询、答疑 2、内容说明 略 第二章 汽车模型建立 2.1 汽车悬架系统概述 2.1.1 悬架系统的结构和功能 2.1.2 悬架分类 2.2 四分之一车辆模型 对于车辆动力学&#xff0c;一般都是研究其悬…

生活中的可靠性小案例11:窗户把手断裂

窗户把手又断了&#xff0c;之前也断过一次&#xff0c;使用次数并没有特别多。上方的图是正常的把手状态&#xff0c;断的形状如下方图所示。 这种悬臂梁结构&#xff0c;没有一个良好的圆角过渡&#xff0c;导致应力集中。窗户的开关&#xff0c;对应的是把手的推拉&#xff…

[oeasy]python074_ai辅助编程_水果程序_fruits_apple_banana_加法_python之禅

074_ai辅助编程_水果程序_fruits_加法 回忆上次内容 上次直接从模块中导入变量、函数 from my_file import pi 导入my_file.pi 并作为 pi 使用 from my_file import pi as my_pi 导入变量 并 重命名 添加图片注释&#xff0c;不超过 140 字&#xff08;可选&#xff09; …

【图论】并查集的学习和使用

目录 并查集是什么&#xff1f; 举个例子 组成 父亲数组&#xff1a; find函数&#xff1a; union函数&#xff1a; 代码实现&#xff1a; fa[] 初始化code: find code&#xff1a; 递归实现: 非递归实现: union code : 画图模拟&#xff1a; 路径压缩&#xff1a…

欢乐力扣:反转链表

文章目录 1、题目描述2、思路 1、题目描述 反转链表。  给你单链表的头节点 head &#xff0c;请你反转链表&#xff0c;并返回反转后的链表。 2、思路 借助cur指针和pre双指针来调整链表的前后指向。 # Definition for singly-linked list. # class ListNode: # def __i…

什么是大带宽服务器

什么是大带宽服务器&#xff1f; 在深入探讨大带宽之前&#xff0c;让我们先明确带宽的概念。带宽与我们日常所说的宽带有所不同&#xff0c;宽带是运营商为满足家庭或商业上网需求所提供的服务&#xff0c;而带宽则特指数据的传输速度&#xff0c;尤其是上行速度。大带宽服务…

【TCP】三次挥手,四次挥手详解--UDP和TCP协议详解

活动发起人小虚竹 想对你说&#xff1a; 这是一个以写作博客为目的的创作活动&#xff0c;旨在鼓励大学生博主们挖掘自己的创作潜能&#xff0c;展现自己的写作才华。如果你是一位热爱写作的、想要展现自己创作才华的小伙伴&#xff0c;那么&#xff0c;快来参加吧&#xff01…

SSM基础专项复习4——Maven项目管理工具(1)

系列文章 1、SSM基础专项复习1——SSM项目整合-CSDN博客 2、SSM基础专项复习2——Spring 框架&#xff08;1&#xff09;-CSDN博客 3、SSM基础专项复习3——Spring框架&#xff08;2&#xff09;-CSDN博客 文章目录 系列文章 1. Maven 的概念 1.1. 什么是 Maven 1.2. 什…

使用c#进行串口通信

一、串口通信协议 1.串口通信协议简介 串口通信&#xff08;serial communication&#xff09;是一种设备间非常常用的串行通信方式&#xff0c;大部分电子设备都支持&#xff0c;电子工程师再调试设备时也经常使用该通信方式输出调试信息。讲到某一种通信协议&#xff0c;离…

Web开发-PHP应用鉴别修复AI算法流量检测PHP.INI通用过滤内置函数

知识点&#xff1a; 1、安全开发-原生PHP-PHP.INI安全 2、安全开发-原生PHP-全局文件&单函数 3、安全开发-原生PHP-流量检测&AI算法 一、演示案例-WEB开发-修复方案-PHP.INI配置 文章参考&#xff1a; https://www.yisu.com/ask/28100386.html https://blog.csdn.net/…

蓝桥模拟+真题讲解

今天谁一篇文章哈 &#xff01; 由于本篇文章有些的题目只有图片&#xff0c;因此还望各位见谅。 目录 第一题 题目解析 代码原理 代码编写 填空技巧---巧用python 第二题 题目解析 ​编辑 填空技巧---巧用python 第三题 题目链接 题目解析 必备知识 解题技巧 …

C语言【数据结构】:时间复杂度和空间复杂度.详解

引言 详细介绍什么是时间复杂度和空间复杂度。 前言&#xff1a;为什么要学习时间复杂度和空间复杂度 算法在编写成可执行程序后&#xff0c;运行时需要耗费时间资源和空间(内存)资源。因此衡量一个算法的好坏&#xff0c;一般是从时间和空间两个维度来衡量的&#xff0c;即时…