格雷码 - OI Wiki

格雷码_百度百科

简介

格雷码（Gray Code），又称为二进制格雷码或循环二进制码，是一种二进制编码方式。它得名于贝尔实验室的工程师弗兰克·格雷（Frank Gray），他于1940年代提出了这种编码方式，并在1953年获得了相关专利“Pulse Code Communication”。格雷码在数字系统、通信、模拟-数字转换和位置-数字转换等领域有广泛应用。

码表

十进制数	4位自然二进制码	4位典型格雷码	十进制余三格雷码	十进制空六格雷码	十进制跳六格雷码	步进码
0	0000	0000	0010	0000	0000	00000
1	0001	0001	0110	0001	0001	00001
2	0010	0011	0111	0011	0011	00011
3	0011	0010	0101	0010	0010	00111
4	0100	0110	0100	0110	0110	01111
5	0101	0111	1100	1110	0111	11111
6	0110	0101	1101	1010	0101	11110
7	0111	0100	1111	1011	0100	11100
8	1000	1100	1110	1001	1100	11000
9	1001	1101	1010	1000	1000	10000
10	1010	1111	----	----	----	----
11	1011	1110	----	----	----	----
12	1100	1010	----	----	----	----
13	1101	1011	----	----	----	----
14	1110	1001	----	----	----	----
15	1111	1000	----	----	----	----

构造方式

格雷码有很多构造方式，在这里介绍一下“镜像构造”这种方式。

格雷码的镜像构造方式是一种通过递归生成格雷码的方法。其核心思想是利用前一个格雷码序列的镜像对称性来生成下一个格雷码序列。具体步骤如下：

1. 基础情况

• 当 n=1 时，格雷码序列为：

          G1=[0,1]

2. 递归步骤

• 假设已经生成了 n−1 位的格雷码序列 Gn−1，则 n 位的格雷码序列 Gn​ 可以通过以下方式生成：

  1. 复制：将 Gn−1​ 复制一份，作为 Gn​ 的前半部分。

  2. 镜像：将 Gn−1​ 反转，作为 Gn 的后半部分。

  3. 前缀添加：在前半部分的每个码字前添加 0，在后半部分的每个码字前添加 1。

3. 示例

• 1位格雷码：

  G1=[0,1]G1​=[0,1]

• 2位格雷码：

  G2=[00,01,11,10]G2​=[00,01,11,10]

• 3位格雷码：

  G3=[000,001,011,010,110,111,101,100]G3​=[000,001,011,010,110,111,101,100]

4. 总结

 镜像构造方式通过递归和镜像对称性，能够高效地生成任意位数的格雷码序列。这种方法不仅简单直观，而且保证了相邻码字之间只有一位不同，符合格雷码的特性。