混沌理论与混沌映射

混沌理论研究混沌系统的动力学，其特征是非线性和对初始条件的极端敏感性。即使在这些条件下的微小变化也可能导致系统结果的显著变化。尽管看起来是随机的，混沌系统可以在不依赖随机性的情况下表现出不规则的行为，因为确定性系统也可以表现出混沌行为。最近，这些独特的特性被用来增强元启发式算法的性能。

此外，混沌映射具有遍历性、非线性和发散性特性，类似于非线性动态系统中常见的随机过程。这些映射高度敏感，严重依赖于它们的初始化条件和参数[70]。混沌映射的数学表示通常在公式(4.2)中表达，其中 $ch(t)$ 表示一个混沌序列，该序列结合了从0到1或-1到1的随机数。

$$ch(t+3)=f(ch(t));0<ch(t)<1\text{或}-1<ch(t)<1;\forall t=1,2,\dots ,t_{\max }.\text{\hspace{1em}(4.2)}$$

由于它们的高敏感性，混沌映射的初始参数值显著影响它们的行为。即使这些参数的微小变化也可能导致剧烈的输出变化，这可能并不总是理想的。因此，为混沌映射选择合适的初始值[71]是至关重要的，需要仔细考虑。

此外，混沌映射在增强元启发式优化能力方面提供了几个优势[72]，[73]，如下所述：

(i) 这些映射的混沌特性增强了搜索算法的探索和开发能力。

(ii) 它们向算法引入了增加的随机性，可能改善全局性能。

(iii) 混沌映射有助于防止算法收敛到局部最优解。

(iv) 它们增加了初始种群的多样性，提高了全局搜索精度和收敛速度。

(v) 混沌映射具有简单的公式，与元启发式算法一起实现时不增加额外的计算成本，从而保持一致的时间和空间复杂度水平。

表4列出了用于CEPSO的十个选定的混沌映射，在区间(0, 1)或(-1, 1)内生成混沌数。这些混沌映射的图形所示。


对应代码：

function O=chaos(index,curr_iter,max_iter,Value)

x(1)=0.7;
switch index
    %Chebyshev map
    case 1
        for i=1:max_iter
            x(i+1)=cos(i*acos(x(i)));
            y(i)=((x(i)+1)*Value)/2;
        end
    case 2
        %Circle map
        a=0.5;
        b=0.2;
        for i=1:max_iter
            x(i+1)=mod(x(i)+b-(a/(2*pi))*sin(2*pi*x(i)),1);
            y(i)=x(i)*Value;
        end
    case 3
        %yauss/mouse map
        for i=1:max_iter
            if x(i)==0
                x(i+1)=0;
            else
                x(i+1)=mod(1/x(i),1);
            end
            y(i)=x(i)*Value;
        end
    case 4
        %Iterative map
        a=0.7;
        for i=1:max_iter
            x(i+1)=sin((a*pi)/x(i));
            y(i)=((x(i)+1)*Value)/2;
        end
    case 5
        %Loyistic map
        a=4;
        for i=1:max_iter
            x(i+1)=a*x(i)*(1-x(i));
            y(i)=x(i)*Value;
        end
    case 6
        %Piecewise map
        P=0.4;
        for i=1:max_iter
            if x(i)>=0 && x(i)<P
                x(i+1)=x(i)/P;
            end
            if x(i)>=P && x(i)<0.5
                x(i+1)=(x(i)-P)/(0.5-P);
            end
            if x(i)>=0.5 && x(i)<1-P
                x(i+1)=(1-P-x(i))/(0.5-P);
            end
            if x(i)>=1-P && x(i)<1
                x(i+1)=(1-x(i))/P;
            end
            y(i)=x(i)*Value;
        end
        
    case 7
        %Sine map
        for i=1:max_iter
            x(i+1) = sin(pi*x(i));
            y(i)=(x(i))*Value;
        end
    case 8
        %Sinyer map
        u=1.07;
        for i=1:max_iter
            x(i+1) = u*(7.86*x(i)-23.31*(x(i)^2)+28.75*(x(i)^3)-13.302875*(x(i)^4));
            y(i)=(x(i))*Value;
        end
    case 9
        %Sinusoidal map
        for i=1:max_iter
            x(i+1) = 2.3*x(i)^2*sin(pi*x(i));
            y(i)=(x(i))*Value;
        end
        
    case 10
        %Tent map
        x(1)=0.6;
        for i=1:max_iter
            if x(i)<0.7
                x(i+1)=x(i)/0.7;
            end
            if x(i)>=0.7
                x(i+1)=(10/3)*(1-x(i));
            end
            y(i)=(x(i))*Value;
        end
        
end
O=y(curr_iter);