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基本概念

线性可分情况

线性不可分情况

工作原理

示例

Python 案例

代码解释

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基本概念

支持向量机是一种有监督的机器学习算法，可用于分类和回归任务。在分类问题中，SVM 的目标是找到一个最优的超平面，将不同类别的样本分隔开来，并且使得两类样本到该超平面的间隔最大。这个超平面被称为最大间隔超平面，而那些离超平面最近的样本点被称为支持向量，它们决定了超平面的位置和方向。

线性可分情况

当数据是线性可分的，即存在一个超平面能够完全将不同类别的样本分开时，SVM 会寻找一个具有最大间隔的超平面。假设我们有一个二维数据集，包含两类样本，此时的超平面就是一条直线。SVM 会找到这样一条直线，使得两类样本到该直线的距离（间隔）最大。

线性不可分情况

在实际应用中，数据往往是线性不可分的，即不存在一个超平面能够完美地将不同类别的样本分开。为了解决这个问题，SVM 引入了核函数和软间隔的概念。

• 核函数：通过将原始数据映射到一个更高维的特征空间，使得数据在新的空间中变得线性可分。常见的核函数有线性核、多项式核、高斯核（RBF 核）等。
• 软间隔：允许部分样本点落在间隔带内甚至错误分类，通过引入一个惩罚参数 C 来控制这种错误分类的程度。 C 值越大，对错误分类的惩罚越严重； C 值越小，允许更多的样本点被错误分类。

工作原理

SVM 的核心是求解一个凸二次规划问题，以找到最优的超平面。对于线性可分问题，其目标是最大化间隔；对于线性不可分问题，目标是在最大化间隔的同时，最小化错误分类的样本数量。

示例

假设我们有一个简单的二维数据集，包含两类样本：红色点和蓝色点。在二维平面上，这些点可能分布得比较杂乱，无法用一条直线直接将它们分开。通过使用核函数（如高斯核），我们可以将这些二维数据映射到一个更高维的空间中，在这个高维空间中，可能就存在一个超平面能够将红色点和蓝色点分开。

Python 案例

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn import datasets
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.svm import SVC
from sklearn.metrics import accuracy_score

# 加载鸢尾花数据集
iris = datasets.load_iris()
# 只选取前两个特征，方便可视化
X = iris.data[:, :2]
y = iris.target

# 划分训练集和测试集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.3, random_state=42)

# 创建 SVM 分类器，使用径向基核函数（RBF）
svm_classifier = SVC(kernel='rbf', C=1.0, gamma='scale')

# 训练模型
svm_classifier.fit(X_train, y_train)

# 预测测试集
y_pred = svm_classifier.predict(X_test)

# 计算准确率
accuracy = accuracy_score(y_test, y_pred)
print(f"支持向量机模型的准确率: {accuracy:.2f}")

# 可视化决策边界
x_min, x_max = X[:, 0].min() - 1, X[:, 0].max() + 1
y_min, y_max = X[:, 1].min() - 1, X[:, 1].max() + 1
xx, yy = np.meshgrid(np.arange(x_min, x_max, 0.02),
                     np.arange(y_min, y_max, 0.02))
Z = svm_classifier.predict(np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()])
Z = Z.reshape(xx.shape)

plt.contourf(xx, yy, Z, alpha=0.4)
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=y, alpha=0.8)
plt.xlabel('Sepal length')
plt.ylabel('Sepal width')
plt.title('SVM Decision Boundary')
plt.show()

代码解释

1. 数据加载与预处理：使用 datasets.load_iris() 加载鸢尾花数据集，并只选取前两个特征用于可视化。然后使用 train_test_split 函数将数据集划分为训练集和测试集。
2. 模型创建与训练：创建一个 SVM 分类器 SVC，使用径向基核函数（RBF），并设置惩罚参数 C=1.0 和核系数 gamma='scale'。然后使用训练集数据对模型进行训练。
3. 模型预测与评估：使用训练好的模型对测试集进行预测，并使用 accuracy_score 函数计算预测结果的准确率。
4. 可视化决策边界：通过生成网格点，使用训练好的模型对网格点进行预测，然后绘制决策边界和样本点，直观展示 SVM 的分类效果。