动态规划（背包问题）--是否逆序使用的问题--二进制拆分的问题

news2025/2/26 13:27:24

动态规划（背包问题）

题目链接
- 01背包
- - 代码
- 完全背包问题
- - 代码
- 多重背包问题 I
- - 代码
什么时候适用逆序
- 多重背包问题 II（超百万级的复杂度）
- - 代码
关于二进制拆分

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01背包

在这里插入图片描述

代码

#include <iostream>
#include <vector>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <math.h>
#include <queue>

#include <cctype>
using namespace std;
int n, V;
int v[1010], w[1010], dp[1010];
int main() {
	cin >> n >> V;
	for (int i = 0; i < n; i++)
		cin >> v[i] >> w[i];
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		for (int j = V; j >= v[i]; j--) {
			dp[j] = max(dp[j], dp[j - v[i]] + w[i]);
		}
	}
	cout << dp[V] << endl;
	return 0;
}

完全背包问题

在这里插入图片描述

代码

#include <iostream>
#include <vector>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <math.h>
#include <queue>

#include <cctype>
using namespace std;
int n, V;
int v[1010], w[1010], dp[1010];
int main() {
	cin >> n >> V;
	for (int i = 0; i < n; i++)
		cin >> v[i] >> w[i];
	for (int i = 0; i < n; i++) {
	//01背包这是逆序，以保证刚被放入的不会被放入第二次
	//完全背包没次数限制，只要保证局部最优解（像贪心）
		for (int j = v[i]; j <= V; j++) {
			dp[j] = max(dp[j], dp[j - v[i]] + w[i]);
		}
	}
	cout << dp[V] << endl;
	return 0;
}

多重背包问题 I

在这里插入图片描述

代码

#include <iostream>
#include <vector>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <math.h>
#include <queue>

#include <cctype>
using namespace std;
int n, V;
int v[1010], w[1010], s[1010], dp[1010];
int main() {
	cin >> n >> V;
	for (int i = 0; i < n; i++)
		cin >> v[i] >> w[i] >> s[i];
	for (int i = 0; i < n; i++) {
	//注意未放置重复使用，这里用的逆序
		for (int j = V; j >= 0; j--) {
			for (int k = 0; k <= s[i]; k++)
				if (j - v[i]*k >= 0)
					dp[j] = max(dp[j], dp[j - v[i] * k] + w[i] * k);
		}
	}
	cout << dp[V] << endl;
	return 0;
}

什么时候适用逆序

如果你的dp数组用的二维的话，就能确保状态更新时使用的是上一轮（即前一种物品）的值。

但是！可见我的代码dp数组全是用的一维数组，这个时候就有是否逆序的烦恼了呀！

那什么时候用逆序呢？

哎！先上总结：在这里插入图片描述
原因如下：

首先，为什么要逆序遍历？防止重复选取：逆序保证在更新 dp[j] 时，dp[j - v[i]] 尚未被修改，即防止是上一轮的值被再次使用，哎~这就要有人问了，动态规划不就是递推的吗？不就是要用前几轮被更新的值吗？你想奥如果此时i=1，即仍然处于更新第一个物品的情况中，但是01背包中每个物品就一次，如果正序遍历，在内存允许的情况下，物品1又会被放一次。

但是什么情况下就无所谓呢？没错就是物品数量无限的时候，即完全背包问题。它没有数量限制，如果此时用逆序，就会导致在容量为V的时候只放了一共物品一，顺序的话就可以放V/v个物品一了。

那么多重背包为什么也要用逆序呢？多重背包多了一个参数——物品各自的数量，所以在双重循环中又加了一层，即数量的遍历，目的是遍历在数量允许的前提下时，容量允许的价值数量。
讲的比较抽象，轻喷：）

（虽然这个博客也没啥真人看（除了我自己）

多重背包问题 II（超百万级的复杂度）

百万级以内的复杂度，上述代码都能解决

在这里插入图片描述

代码

#include <iostream>
#include <vector>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <math.h>
#include <queue>

#include <cctype>
using namespace std;
//为什么是2w5？因为2000会被拆成11项，若2000个物品则一共就是2w2项
const int N = 25000;
int n, m, v[N], w[N], dp[N];
int main() {
	cin >> n >> m;
	int cnt = 0;
//实施二进制拆分
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		int a, b, s;
		cin >> a >> b >> s;
		int k = 1;
		while (k <= s) {
			cnt++;
			v[cnt] = a * k;
			w[cnt] = b * k;
			s -= k;
			k *= 2;
		}
		if (s > 0) {
			cnt++;
			v[cnt] = a * s;
			w[cnt] = b * s;
		}
	}
	for (int i = 1; i <= cnt; i++) {
		for (int j = m; j >= v[i]; j--) {
			dp[j] = max(dp[j], dp[j - v[i]] + w[i]);
		}
	}
	cout << dp[m] << endl;
	return 0;
}