学习数据结构(11)二叉树(堆)下

news2025/2/21 18:44:53

1.堆的概念

如果有⼀个集合 K = {k0,k1,k2,...,k(n-1)} ,把它的所有元素按完全二叉树的形式存储在一个一维数组中,并满足:K(i)<=2*i+1且K(i)<=2*i+2(K(i)>=2*i+1且K(i)>=2*i+2),i=0,1,2... ,则称为小堆(或大堆),将根结点最大的堆叫做最大堆或大根堆,根结点最小的堆叫做最小堆或小根堆

例:有一组数据:10,65,70,30,15,25

                                

2.堆的实现

(1)初始化堆

(2)堆的销毁

(3)交换

(4)堆的插入

 (5)向上调整

为了构建小堆或大堆,在插入数据时,可以将插入的数据看作孩子,在满足双亲的下标>=0(孩子的下标大于0)将孩子与双亲作对比,向上调整数据

图例:

向上调整算法的时间复杂度:(为了简化使用满二叉树来证明)

则每层节点需要移动的次数为:每层结点的个数*向上移动的次数,节点总共需要移动的次数为:所有层节点需要移动的次数之和

T(h)=2^1*1+2^2*2+2^3*3+...+2^(h-2)*(h-2)+2^(h-1)*(h-1)                       ①

2*T(h)=2^2*1+2^3*2+2^4*3+...+2^(h-1)*(h-2)+2^(h)*(h-1)                       ②

①-②:-T(h)=2^1+2^2+2^3+...+2^(h-2)+2^(h-1)-2^h*(h-1)                                                                                    =2^h-2-2^h*(h-1)                                                                                                                                =2^h(2-h)-2

T(h)=2^h(h-2)+2,根据二叉树的性质:n=2^h-1,h=log2(n+1)

得F(n)=(n+1)(log2(n+1)-2)+2,故向上调整算法的时间复杂度为:O(n*log2(n))

(6)打印堆

(7)判空

 (8)堆的删除

删除堆顶数据就是将数组开头的元素和数组末尾的元素交换,将堆中size的值减一,此时堆中的结构可能被改变,不再是大堆(小堆),需要将堆顶元素向下调整

(9)向下调整

以此时的堆顶元素为双亲,在满足孩子的下标小于堆元素个数的情况下,与两个孩子作对比(如果没有右孩子,则只和左孩子做对比),不断向下调整数据

图例:

向下调整算法的时间复杂度:(为了简化使用满二叉树来证明)

则每层节点需要移动的次数为:每层结点的个数*向下移动的次数,节点总共需要移动的次数为:所有层节点需要移动的次数之和

T(h)=2^0*(h-1)+2^1*(h-2)+2^2*(h-3)+...+2^(h-3)*2+2^(h-2)*1                       ①

2*T(h)=2^1*(h-1)+2^2*(h-2)+2^3*(h-3)+...+2^(h-2)*2+2^(h-1)*1                    ②

②-①:T(h)=2^1+2^2+2^3+...+2^(h-2)+2^(h-1)+1-h                                                                                             =2^h-1-h

根据二叉树的性质:n=2^h-1,h=log2(n+1) 

T(n)=n-log2(n+1),故向下调整算法的时间复杂度为O(n)                        

(10)取堆顶元素

3.堆排序

(1)在数据结构堆中实现排序

创建数据结构堆,将数组中的元素一一插入堆中,在堆不为空的情况下,循环取堆顶放入数组中,再删除堆顶,每次取出的堆顶都是堆中的最大值或最小值,由此实现升序或降序排列

(2)利用堆的思想在数组中实现排序

通过向上调整或向下调整将数组排列成堆的结构(若要排升序,则建大堆,排降序,则建小堆),将数组开头的元素和末尾的元素交换,将此时数组开头的元素看作双亲,向下调整

堆排序算法的时间复杂度为:O(nlog2(n)),效率高于冒泡排序

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