目录

描述

输入描述

输出描述

用例输入 1 

用例输出 1 

什么是pell数列

一、定义与递推关系

二、数学性质

三、应用领域

四、编程实现要点

五、扩展与相关概念

 C++代码实现

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描述

Pell数列a1​,a2​,a3​,...的定义是这样的，a1​=1,a2​=2,...,an​=2an−1​+an−2​(n>2)。
给出一个正整数k，要求Pell数列的第k项模上32767是多少。

输入描述

第1行是测试数据的组数n，后面跟着n行输入。每组测试数据占1行，包括一个正整数k (1≤k<1000000)。

输出描述

n行，每行输出对应一个输入。输出应是一个非负整数。

用例输入 1 

2
1
8

用例输出 1 

1
408

什么是pell数列

一、定义与递推关系

1. 基本定义
   Pell数列是一个满足递推关系的整数数列，初始项为 

   a(1)=1、a(2)=2，后续项满足a(n​)=2^a(n−1​)+a(n−2)。(n≥3).

   • 示例前几项：1, 2, 5, 12, 29, 70, 169...（增长速度接近指数级）。

2. 变体定义
   部分文献中会调整初始条件，例如定义为P(0)=0、P(1)=1，但递推公式相同。

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二、数学性质

1. 增长特性
   Pell数列的增长速度极快，例如第24项已超过 2×1082×108，需通过模运算（如模32767）避免溢出。

2. 与佩尔方程的关系
   Pell数列可用于求解佩尔方程 �2−��2=1x2−Dy2=1（D为非平方正整数），其解与数列的奇数项和偶数项相关。

3. 倒数和恒等式
   研究显示，Pell数列的奇数项与偶数项的倒数和存在特定恒等式，例如通过通项公式推导出的对称性表达式。

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三、应用领域

1. 数论与代数

   • 用于解决佩尔方程、连分数展开等问题。
   • 与黄金分割比、斐波那契数列有间接联系，例如在递推结构上的相似性。

2. 几何问题
   在三角平方数（如正方形数的扩展形式）和平面几何的近似计算中发挥作用。

3. 计算机科学
   常见于编程题目中，例如计算第k项模32767的值，需通过递推或动态规划优化递归导致的超时问题。

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四、编程实现要点

1. 避免递归
   直接递归会因重复计算导致效率低下，推荐使用递推或预计算法，提前存储数列项。

2. 大数处理
   每一步计算均需取模，防止数值溢出。

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五、扩展与相关概念

1. 关联数列

   • Pell-Lucas数列：初始项为2, 2，递推公式相同，用于更复杂的数论问题。
   • Lehmer数和Lucas数：与Pell方程解的构造相关。

2. 连分数方法
   通过连分数展开求解佩尔方程时，Pell数列的项对应连分数的收敛子

 C++代码实现

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[1000001];
int main(){
    a[1]=1,a[2]=2;
    for(int i=3;i<=1000000;i++){
        a[i]=(a[i-1]*2+a[i-2])%32767;
    }
    int n;
    cin>>n;
    int b[n+1];
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>b[i];
        cout<<a[b[i]]<<endl;
    }
    return 0;
}