在人工智能的领域中，神经网络是推动技术发展的核心力量。今天，让我们深入探讨循环神经网络（RNN）
一、神经网络基础
（1）什么是神经网络
神经网络，又称人工神经网络，其设计灵感源于人类大脑的运作模式。它由众多被称为“节点”的处理单元构成，这些节点之间相互传递数据，恰似大脑中的神经元传递电脉冲。
在机器学习领域，神经网络扮演着关键角色。尤其是在深度学习中，它能够从无标签数据中提取有价值的信息，实现诸如识别照片中未知物品等复杂任务。
（2）神经网络的学习过程
神经网络的学习过程是一个迭代的过程，主要包括前向传播、损失函数计算和反向传播三个关键步骤。
在前向传播阶段，数据从输入层开始，依次经过隐藏层的处理，最终到达输出层。在这个过程中，每个神经元都会根据输入数据和自身的权重、偏差进行计算。权重决定了输入数据的相对重要性，而偏差则影响着神经元的激活程度。最初，我们会为权重和偏差赋予非零的随机值，这就是网络的参数初始化过程。
计算完成后，输出层的结果即为前向传播的最终输出，我们将其与真实值（ground-truth value）进行对比，通过损失函数（loss function）来衡量模型的性能。损失函数计算预测值与真实值之间的误差，常见的损失函数包括均方误差（Mean Squared Error，MSE）、平均绝对误差（Mean Absolute Error，MAE）、二元交叉熵（Binary Cross-entropy）、多类交叉熵（Multi-class Cross-entropy）等，它们分别适用于不同类型的任务，如回归问题或分类问题。
如果前向传播得到的预测值与真实值相差较大，说明我们需要调整网络的参数以降低损失函数的值。这就引出了反向传播过程，在这个阶段，我们会计算损失函数关于模型参数的梯度，并利用优化算法（如梯度下降 等）来更新参数。
二、循环神经网络
（1）RNN的定义与应用场景
循环神经网络（RNN）是一种专门设计用于处理顺序数据的神经网络架构。与传统的前馈神经网络不同。
RNN 能够通过内部状态来记忆之前输入的信息，从而更好地处理序列数据。在处理时间序列数据、语言建模或视频序列等任务时，RNN 表现出了独特的优势，因为这些任务中输入数据的顺序至关重要。
（2）顺序数据的概念
顺序数据是指具有特定顺序且顺序会影响数据含义的信息。
“The quick brown fox jumps over the lazy dog.”
每个单词都是数据的一部分，单词的顺序决定了句子的语义。如果将单词顺序打乱，句子就会变得毫无意义。
其他常见的顺序数据还包括时间序列数据（如股票价格、温度读数、网站流量等）和语音信号等。
（3）RNN与前馈神经网络的对比
- 前馈神经网络：数据在网络中仅沿一个方向流动，从输入层到输出层，不存在反馈回路。这种架构适用于模式识别等任务，但在处理顺序数据时存在局限性，因为它无法利用之前的输入信息。
- 循环神经网络：通过网络中的反馈回路，信号可以在前后时间步之间传递，使得网络能够记住之前的输入，从而更好地处理顺序数据。
（4）为什么使用RNN
传统的人工神经网络（ANN）在处理顺序数据（如文本）时面临挑战，因为它们要求输入数据具有固定的大小。在 ANN 中，每个输入被独立处理，无法捕捉元素之间的顺序和关系。
三、RNN的架构
3.1 RNN的时间展开
RNN的关键在于其内部状态或记忆，它能够跟踪已处理的数据，可以将 RNN 视为多个前馈神经网络在时间上的链式执行，每个时间步都有一个相同的网络结构在处理输入数据。
- 输入层：在每个时间步，输入层接收一个输入数据，并将其传递给隐藏层。与前馈网络不同，RNN 的输入是逐个时间步进行处理的，这使得网络能够适应动态变化的数据序列
- 隐藏状态：隐藏层在 RNN 中起着核心作用，它不仅处理当前输入，还会保留之前输入的信息。隐藏状态 h t h_t ht 在时间步 t t t是根据当前输入 X t X_t Xt和前一个隐藏状态 h t − 1 h_{t - 1} ht−1 计算得出的，计算公式如下：
h t = t a n h ( W ∗ [ h t − 1 , X t ] + b h ) h_t = tanh(W*[h_{t-1},X_t] + b_h) ht=tanh(W∗[ht−1,Xt]+bh)
- t a n h tanh tanh: 是非线性激活函数
- W W W：隐藏层的权重矩阵
- b h b_h bh: 隐藏层的偏差向量
- 输出序列：
RNN 的输出方式非常灵活，可以在每个时间步都产生输出（多对多），也可以在序列结束时产生一个单一输出（多对一），甚至可以从单个输入生成一个序列输出（一对多）。例如，对于多对多的 RNN，时间步 t t t的输出 O t O_t Ot 可以通过以下公式计算：
O t = V ∗ h t + b o O_t = V*h_t+b_o Ot=V∗ht+bo
- V V V: 输出层的权重矩阵
- b o b_o bo：输出层的偏差向
3.2 RNN的关键操作
3.2.1 前向传播
在 RNN 的前向传播过程中，对于每个时间步 t t t，网络会结合当前输入 X t X_t Xt 和前一个隐藏状态 h t − 1 h_{t - 1} ht−1 来计算新的隐藏状态 h t h_t ht和输出 O t O_t Ot。这个过程中会使用一些非线性激活函数（如 s i g m o i d sigmoid sigmoid 或 t a n h tanh tanh）来引入非线性变换.
def forward(self, inputs):
h = np.zeros((1, self.hidden_size))
self.last_inputs = inputs
self.last_hs = {0: h}
for i, x in enumerate(inputs):
x = x.reshape(1, -1)
h = np.tanh(np.dot(x, self.weights_ih) + np.dot(h, self.weights_hh) + self.bias_h)
self.last_hs[i + 1] = h
y = np.dot(h, self.weights_ho) + self.bias_o
self.last_outputs = y
return y
3.2.2 反向传播时间(BPTT)
与传统的反向传播不同，BPTT 会在时间上展开整个数据序列，并在每个时间步计算梯度，然后利用这些梯度来调整权重，以降低总体损失。
假设我们有一个长度为
T
T
T 的时间序列数据，在每个时间步
t
t
t 都有一个简单的损失函数
L
t
L_t
Lt（如回归任务中的均方误差），那么总损失
L
t
o
t
a
l
L_{total}
Ltotal 是每个时间步损失的总和：
L t o t a l = Σ t = 1 T L t L_{total}=\Sigma_{t=1}^{T}L_t Ltotal=Σt=1TLt
为了更新权重，我们需要计算
L
t
o
t
a
l
L_{total}
Ltotal 关于权重的梯度。对于权重矩阵
U
U
U（输入到隐藏层）、
W
W
W（隐藏层到隐藏层）和
V
V
V（隐藏层到输出层），梯度的计算公式如下：
def backprop(self, d_y, learning_rate, clip_value=1):
n = len(self.last_inputs)
d_y_pred = (self.last_outputs - d_y) / d_y.size
d_Whh = np.zeros_like(self.weights_hh)
d_Wxh = np.zeros_like(self.weights_ih)
d_Why = np.zeros_like(self.weights_ho)
d_bh = np.zeros_like(self.bias_h)
d_by = np.zeros_like(self.bias_o)
d_h = np.dot(d_y_pred, self.weights_ho.T)
for t in reversed(range(1, n + 1)):
d_h_raw = (1 - self.last_hs[t] ** 2) * d_h
d_bh += d_h_raw
d_Whh += np.dot(self.last_hs[t - 1].T, d_h_raw)
d_Wxh += np.dot(self.last_inputs[t - 1].reshape(1, -1).T, d_h_raw)
d_h = np.dot(d_h_raw, self.weights_hh.T)
for d in [d_Wxh, d_Whh, d_Why, d_bh, d_by]:
np.clip(d, -clip_value, clip_value, out=d)
self.weights_ih -= learning_rate * d_Wxh
self.weights_hh -= learning_rate * d_Whh
self.weights_ho -= learning_rate * d_Why
self.bias_h -= learning_rate * d_bh
self.bias_o -= learning_rate * d_by
3.2.3 权重更新
在计算出梯度后，我们使用优化算法（如随机梯度下降）来更新权重。权重更新的公式如下：
